Lo scopo del corso è quello di fornire i concetti basilari dell'Analisi Funzionale e sue applicazioni tramite metodi numerici. 

01. Spazi normati, spazi metrici, topologia
01.01 Spazi vettoriali normati
01.02 Spazi a prodotto scalare
01.03 Spazi metrici
01.04 Spazi topologici
01.05 Limiti
01.06 Prodotto di spazi topologici
01.07 Funzioni lineari tra spazi normati
01.08 Norme topologicamente equivalenti
01.09 Continuità delle applicazioni multilineari
01.10 Successioni e sottosuccessioni
01.11 Spazi metrici completi
01.12 Completezza di vari spazi normati
01.13 Equivalenza delle norme in dimensione finita
01.14 Spazi compatti e sequenzialmente compatti
01.15 Spazi compatti e sottospazi compatti
01.16 Funzioni continue tra compatti
01.17 Prodotto di spazi compatti
01.18 Applicazioni
01.19 Spazi connessi
01.20 Lemma delle contrazioni di Banach-Caccioppoli

02 Funzioni Riemann integrabili
02.01 Funzioni a scalino
02.02 Integrale delle funzioni a scalino a supporto compatto
02.03 Area di un insieme piano
02.04 Funzioni Riemann integrabili
02.05 Proprietà dell'integrale
02.06 Integrale ed area del trapezoide
02.07 Un'osservazione spesso utile
02.08 Integrale esteso ad un intervallo
02.09 Integrabilità locale delle funzioni continue
02.10 Integrale esteso ad un intervallo orientato
02.11 Integrale indefinito
02.12 Teorema di caratterizzazione delle classi contigue e sue conseguenze

03 Insiemi
03.1 Il paradiso di Cantor 
03.2 Relazioni: generalità
03.3 Preordini. Equivalenze. Ordini
03.4 Funzioni tra insiemi
03.5 Immagine e controimmagine  
03.6 Prodotto cartesiano tra insiemi
03.7 Elementi di Teoria GBN
03.8 Assioma della scelta: versioni equivalenti
03.9 Cardinalità (nel senso di Frege): generalità
03.10 Teoremi fondamentali dell'aritmetica cardinale
03.11 Cardinalità ed elementi di Calcolo combinatorico

Non vi sono propedeuticità obbligatorie. Il corso presuppone la conoscenza dei principali argomenti di Analisi Matematica e Algebra Lineare.

Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding):

Al termine del corso lo studente avrà acquisito la conoscenza delle nozioni fondamentali di Analisi Funzionale.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione (applying knowledge and understanding):

Al termine del corso lo studente avrà acquisito le metodologie proprie dell’Analisi Funzionale e sarà in grado di applicarle allo studio di problemi di vario genere.

Autonomia di giudizio (making judgements):

Al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare i metodi dell’Analisi Funzionale al fine di risolvere nuovi problemi, anche di natura applicativa.

Abilità comunicative (communications skills):

Al termine del corso lo studente avrà acquisito la capacità di esprimere i concetti fondamentali dell’analisi matematica con un certo rigore.

Capacità di apprendimento (learning skills):

Durante il corso lo studente acquisirà la capacità di studiare e apprendere le nozioni di Analisi Funzionale, anche al fine di utilizzarle per la risoluzione di problemi di natura applicativa.

Il materiale didattico predisposto dalla/dal docente in aggiunta ai testi consigliati (come ad esempio diapositive, dispense, esercizi, bibliografia) e le comunicazioni della/del docente specifiche per l'insegnamento sono reperibili all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sebbene fortemente consigliata, la frequenza del corso non è obbligatoria.

Testi di studio

G. De Marco, Analisi Due. Teoria ed Esercizi. Zanichelli, Bologna, 1999.

T. Jech, Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xiv+769 pp.

W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, New York-Auckland-Düsseldorf, 1976.

S. Salsa, Partial Differential Equations in Action, From Modelling to Theory  - Springer, 2007. 

Modalità di
accertamento

L’esame di Elementi di Analisi Funzionale e Metodi Numerici consiste in un esame scritto e uno orale, entrambi obbligatori.

La prova scritta, della durata di due ore, consiste in esercizi a risposta aperta sugli argomenti del programma del corso. La prova scritta si considera superata se il voto riportato è maggiore o uguale a 15/30. Durante lo svolgimento delle prove scritte non è consentita la consultazione di libri di testo, né di appunti di alcun tipo, né di libri di esercizi. Non è consentito l’utilizzo di calcolatrici scientifiche, né di telefoni cellulari, pena l’esclusione.

La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma del corso. Può sostenere la prova orale solo chi abbia superato la prova scritta con un voto minimo di 15/30. Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l’esame orale solo nell’appello nel quale è stato superato l’esame scritto o negli appelli della medesima sessione.

Il voto finale dell’esame di Elementi di Analisi Funzionale e Metodi Numerici è dato dalla media tra il voto della prova scritta e quello della prova orale.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sebbene fortemente consigliata, la frequenza del corso non è obbligatoria.

Testi di studio

H. Brézis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Universitext, Springer, New York, 2011, xiv+599 pp.

G. De Marco, Analisi Due. Teoria ed Esercizi. Zanichelli, Bologna, 1999.

T. Jech, Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xiv+769 pp.

W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, New York-Auckland-Düsseldorf, 1976.

Modalità di
accertamento

L’esame di Elementi di Analisi Funzionale e Metodi Numerici consiste in un esame scritto e uno orale, entrambi obbligatori.

La prova scritta, della durata di due ore, consiste in esercizi a risposta aperta sugli argomenti del programma del corso. La prova scritta si considera superata se il voto riportato è maggiore o uguale a 15/30. Durante lo svolgimento delle prove scritte non è consentita la consultazione di libri di testo, né di appunti di alcun tipo, né di libri di esercizi. Non è consentito l’utilizzo di calcolatrici scientifiche, né di telefoni cellulari, pena l’esclusione.

La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma del corso. Può sostenere la prova orale solo chi abbia superato la prova scritta con un voto minimo di 15/30. Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l’esame orale solo nell’appello nel quale è stato superato l’esame scritto o negli appelli della medesima sessione.

Il voto finale dell’esame di Elementi di Analisi Funzionale e Metodi Numerici è dato dalla media tra il voto della prova scritta e quello della prova orale.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.