Il corso è finalizzato all'acquisizione dei principi teorici e applicativi della Matematica di base. L'obiettivo primario del corso è quello di trasmettere agli studenti le principali nozioni dell'Algebra elemetare e dell'Analisi Matematica. In particolare si introdurranno gli strumenti necessari per lo studio qualitativo delle funzioni reali di una variabile reale. Si presenteranno a tale scopo le nozioni fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni reali di una variabile reale. 
 

01.  Elementi di Teoria (ingenua) degli Insiemi.
01.01  Insiemi: generalità, definizioni e operazioni.
01.02  Relazioni tra insiemi. Operazioni tra relazioni.
01.03  Relazioni di equivalenza.
01.04  Insieme quoziente.
01.05  Funzioni tra insiemi: generalità.
01.06  Immagine e retroimmagine di una funzione.
01.07  Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche.
01.08  Relazioni d'ordine.
01.09  Strutture algebriche (cenni).
01.10  Compatibilità dell'ordine rispetto alle operazioni.
01.11  Operazioni e ordini sull'insieme quoziente.
01.12  Cardinalità di un insieme.
01.13  Elementi di combinatorica.

02.  Insiemi numerici.
02.01  L'insieme dei numeri naturali.
02.02  Il principio di induzione matematica.
02.03  Esempi significativi.
02.04  L'anello dei numeri interi.
02.05  Il campo dei numeri razionali.
02.06  Numeri irrazionali: esistenza.
02.07  Il campo dei numeri reali.
02.08  La proprietà di completezza di Dedekind.
02.09  Sottoinsiemi reali: generalità.
02.10  Proprietà di Archimede e concetto di densità.
02.11  La diseguaglianza di Bernoulli; il binomio di Newton; medie.

03. Cenni di Topologia sulla retta reale.
03.01 Intervalli.
03.02 Funzione distanza.
03.03 Bocce aperte (chiuse).
03.05 Interno (esterno), chiusura, derivato di un insieme.
03.06 Insiemi aperti (chiusi).
03.07 Intorni.
03.08 Proprietà di caratterizzazione della topologia aperta (chiusa).
03.09 Spazi metrici. Sottospazi metrici. La topologia del piano.

04. Successioni numeriche reali.
04.01 Unicità del limite
04.02 Sottosuccessioni di una successione.
04.03 Teorema della permanenza del segno.
04.04 Teorema del confronto.
04.05 Successioni limitate.
04.06 Teorema dei carabinieri.
04.07 Infinitesimi.
04.08 Operazioni con i limiti finiti.
04.09 Operazioni con i limiti infiniti: somma.
04.10 Operazioni con limiti infiniti: prodotto.
04.11 Operazioni con i limiti infiniti: reciproco e quoziente.
04.12 Forme indeterminate.
04.13 Successioni monotone.
04.14 La successione aritmetica e la successione geometrica.
04.15 Sottosuccessioni monotone.
04.16 Appendice: compattezza e completezza.

05. Limiti delle funzioni reali di una variabile reale.
05.01 Casi particolari.
05.02 Funzioni convergenti e divergenti.
05.03 Limiti delle restrizioni; limiti destri e sinistri.
05.04 Limiti delle funzioni monotone.
05.05 Teoremi sui limiti.
05.06 Forme indeterminate.
05.07 Limiti notevoli.
05.08 Esercizi.

06. Continuità per le funzioni reali di una variabile reale.
06.01 Operazioni con le funzioni continue.
06.02 Limiti e continuità delle funzioni composte.
06.03 Continuità delle restrizioni e delle estensioni.
06.04 Continuità in tutto il dominio.
06.05 Prolungamento per continuità.
06.06 Immagini continue di intervalli sono intervalli.
06.07 Continuità delle funzioni monotone.
06.08 Omeomorfismi.
06.09 Punti di discontinuità.
06.10 Estremanti assoluti.
06.11 Estremanti locali.
06.12 Funzioni continue su compatti.
06.13 Esercizi.

07. Funzioni Elementari.
07.01 Richiami sulle funzioni tra insiemi.
07.02 Potenze: naturali, radici, radicali, reali.
07.03 Funzione esponenziale.
07.04 Funzione logaritmica.
07.05 L'esponenziale (logaritmo) naturale.
07.06 Proprietà formali.
07.07 Funzioni circolari.
07.08 Funzioni inverse delle funzioni circolari.
07.09 Funzioni iperboliche.
07.10 Funzioni iperboliche inverse.
07.11 Esercizi.

08. Derivate per funzioni reali di una variabile reale.
08.0l Variazione di una funzione relativamente alla variabile
indipendente.
08.02 Derivata di una funzione reale di una variabile reale.
08.03 Derivate destre e sinistre.
08.04 La derivabilità implica la continuità.
08.05 Funzione derivata; derivate delle funzioni elementari.
08.06 Linearità della derivazione.
08.07 Derivazione dei prodotti.
08.08 Derivazione del reciproco e del quoziente.
08.09 Derivazione delle composizioni: regola della catena.
08.10 Derivata del modulo di una funzione.
08.11 Derivazione delle funzioni inverse.
08.12 Diffeomorfismi.
08.13 Una funzione continua mai derivabile.
08.14 Esercizi.

09. Teoremi fondamentali del Calcolo Differenziale.
09.01 Derivate ed estremi locali.
09.02 Teorema di Rolle, versione classica.
09.03 Teorema del valor medio.
09.04 Corollari del teorema del valor medio.
09.05 Il teorema degli incrementi finiti.
09.06 La regola di de l'Hopital.
09.07 Corollari.
09.08 Derivate successive.
09.09 Altre considerazioni.
09.10 Punti di estremo locale interno e derivate successive
09.11 Funzioni convesse e concave.
09.12 Asintoti.
09.13 Sviluppi asintotici e derivate successive: la formula di Taylor.
09.14 Applicazioni ed Esercizi: studio qualitativo del grafico di una
funzione reale di variabile reale.
09.15 La funzione di Gauss: sulla teoria degli errori.

10. L'integrale di Riemann.
10.1 Funzioni a scalino.
10.2 Integrale delle funzioni a scalino a supporto compatto.
10.3 Area di un insieme piano.
10.4 Funzioni Riemann integrabili.
10.5 Proprietà dell'integrale.
10.6 Integrale ed area del trapezoide.
10.7 Un'osservazione spesso utile.
10.8 Integrale esteso ad un intervallo.
10.9 Integrabilità locale delle funzioni continue.
10.10 Integrale esteso ad un intervallo orientato.
10.11 Integrale indefinito.
10.12 Primitive, o antiderivate.
10.13 Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
10.14 Integrali indefiniti.
10.15 Integrazione delle funzioni razionali (cenni).
10.16 Integrazione per parti.
10.17 Integrazione per sostituzione.
10.18 Integrazione definita per parti e per sostituzione.
10.19 Il logaritmo come quadratura dell'iperbole.
10.20 Media di una funzione integrabile.
10.21 Una generalizzazione del teorema della media.
10.22 Esercizi.

Non sono previste propedeuticità. 

Conoscenza e capacità di comprensione.  Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona padronanza sugli argomenti di matematica trattati nel corso. Dovrà essere in grado di argomentare correttamente e con proprietà di linguaggio sugli argomenti trattati nel programma. Esempi e modalità di lavoro vengono mostrati in aula durante le lezioni e proposti  nelle esercitazioni.

Conoscenza e capacità di comprensione applicate. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di usare i principali strumenti della matematica di base. Dovrà essere in grado applicare correttamente la formulazione studiata e dovrà essere capace di risolvere problemi di matematica generale simili a quelli studiati. In particolare dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite anche in contesti leggermente diversi da quelli studiati, ed avere la capacità di utilizzare le conoscenze acquisite per risolvere autonomamente problemi che possono apparire nuovi. Esempi di tali applicazioni vengono mostrati in aula durante le lezioni e proposti nelle esercitazioni.

Autonomia di giudizio. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di analisi di argomenti e problemi di matematica generale, la capacità di una valutazione critica di eventuali soluzioni proposte, e di una corretta interpretazione di argomenti simili.

Abilità comunicative. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di comunicare in modo chiaro le proprie affermazioni e considerazioni inerenti problematiche di matematica generale. La modalità di lavoro viene mostrata in aula durante le lezioni e proposta nelle esercitazioni.

Capacità di apprendere. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di autonomia nello studio della disciplina, nella lettura ed interpretazione di un fenomeno qualitativo, nella ricerca di informazioni utili per approfondire la conoscenza degli argomenti trattati.

Il materiale didattico predisposto dalla/dal docente in aggiunta ai testi consigliati (come ad esempio diapositive, dispense, esercizi, bibliografia) e le comunicazioni della/del docente specifiche per l'insegnamento sono reperibili all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Non sono previste attività di supporto.

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sono richieste le conoscenze elementari relativi ai seguenti argomenti sviluppati nel PreCorso di Matematica:

Algebra:
Equazioni di primo grado
Disequazioni di primo grado
Equazioni e disequazioni di primo grado con valore assoluto
Equazioni di grado superiore al primo
Disequazioni di grado superiore al primo
Equazioni e disequazioni di grado superiore al primo con valore assoluto
Equazioni irrazionali 
Disequazioni irrazionali 

Geometria Analitica:
Sistemi di riferimento su una retta e su un piano
La retta
Le coniche

Esponenziali e Logaritmi:
Equazioni esponenziali  
Disequazioni esponenziali 
Equazioni logaritmiche 
Disequazioni logaritmiche 

Trigonometria:
Circonferenza goniometrica
Angoli associati
Espressioni trigonometriche
Formule trigonometriche
Equazioni trigonometriche
Disequazioni trigonometriche

Si consiglia il testo: G. Malafarina, Matematica per i precorsi, McGraw-Hill Education, ISBN: 8838665621, (2010) pp.225.

Testi di studio

Le lezioni teoriche sono tratte dal corso (Dispense) di Analisi Matematica - Parte I del Prof. M. Degiovanni dell'Università Cattolica del Sacro Cuore.

G. De Marco, Analisi Uno. Teoria ed Esercizi. Zanichelli, Bologna, 1986.

G. Devillanova - G. Molica Bisci, Elements of Set Theory and Recursive Arguments, Atti della Accademia Peloritana dei Pericolanti
Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, ISSN 1825-1242 - Vol. 99, No. S1, A? (2021).

G. Devillanova - G. Molica Bisci, The Faboulous Destiny of Richard Dedekind, Atti della Accademia Peloritana dei Pericolanti
Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, ISSN 1825-1242 - Vol. 98, No. S1, A1 (2021).

G. Malafarina, Matematica per i precorsi, McGraw-Hill Education, ISBN: 8838665621, (2010) pp.225.

C. Marcelli, Analisi matematica 1. Esercizi con richiami di teoria. Ediz. MyLab. Con aggiornamento online, Pearson, 2019.

C. Pagani - S. Salsa, Analisi Matematica, Vol. 1 Zanichelli, Bologna, 2015.

G. Prodi, Analisi Matematica, Bollati Boringhieri, Torino, 1970.

W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, New York-Auckland-Dusseldorf, 1976.

Modalità di
accertamento

Gli obiettivi previsti sono verificati attraverso le seguenti due prove, entrambe obbligatorie:

1. Una prova di valutazione formativa: consistente in un elaborato scritto - della durata di 2 ore - articolata in cinque esercizi sui seguenti argomenti:

Teoria degli insiemi: relazioni; funzioni tra insiemi; combinatorica;

Successioni numeriche reali;

Studio completo di una funzione reale di una variabile reale;

Sulle proprietà di continuità e derivabilità di funzioni reali di una variabile reale; 

Integrali di una funzione reale di variabile reale; calcolo di aree di domini piani. 

2. Un colloquio orale: consistente nella discussione dell'elaborato scritto e in tre domande aperte sugli argomenti teorici trattati nel corso.

Per entrambe le prove, i criteri di valutazione sono i seguenti:
- pertinenza e efficacia delle risposte in rapporto ai contenuti del programma;
- il livello di articolazione della risposta;
- adeguatezza del linguaggio disciplinare utilizzato.

La valutazione complessiva viene espressa con voto in trentesimi tenendo conto di entrambe le prove. 

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sono richieste le conoscenze elementari relativi ai seguenti argomenti sviluppati nel PreCorso di Matematica:

Algebra:
Equazioni di primo grado
Disequazioni di primo grado
Equazioni e disequazioni di primo grado con valore assoluto
Equazioni di grado superiore al primo
Disequazioni di grado superiore al primo
Equazioni e disequazioni di grado superiore al primo con valore assoluto
Equazioni irrazionali 
Disequazioni irrazionali 

Geometria Analitica:
Sistemi di riferimento su una retta e su un piano
La retta
Le coniche

Esponenziali e Logaritmi:
Equazioni esponenziali  
Disequazioni esponenziali 
Equazioni logaritmiche 
Disequazioni logaritmiche 

Trigonometria:
Circonferenza goniometrica
Angoli associati
Espressioni trigonometriche
Formule trigonometriche
Equazioni trigonometriche
Disequazioni trigonometriche

Testi di studio

Le lezioni teoriche sono tratte dal corso (Dispense) di Analisi Matematica - Parte I del Prof. M. Degiovanni dell'Università Cattolica del Sacro Cuore.

Bodine Erin N. Suzanne Lenhart Gross Louis J. Caristi G. (cur.) Mozzanica M. (cur.) Tommei G. (cur.), Matematica per le scienze della vita, UTET Università, 2017.

G. De Marco, Analisi Uno. Teoria ed Esercizi. Zanichelli, Bologna, 1986.

G. Devillanova - G. Molica Bisci, Elements of Set Theory and Recursive Arguments, Atti della Accademia Peloritana dei Pericolanti
Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, ISSN 1825-1242 - Vol. 99, No. S1, A? (2021).

G. Devillanova - G. Molica Bisci, The Faboulous Destiny of Richard Dedekind, Atti della Accademia Peloritana dei Pericolanti
Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, ISSN 1825-1242 - Vol. 98, No. S1, A1 (2021).

G. Malafarina, Matematica per i precorsi, McGraw-Hill Education, ISBN: 8838665621, (2010) pp.225.

C. Marcelli, Analisi matematica 1. Esercizi con richiami di teoria. Ediz. MyLab. Con aggiornamento online, Pearson, 2019.

C. Pagani - S. Salsa, Analisi Matematica, Vol. 1 Zanichelli, Bologna, 2015.

G. Prodi, Analisi Matematica, Bollati Boringhieri, Torino, 1970.

W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, New York-Auckland-Dusseldorf, 1976.

Modalità di
accertamento

Gli obiettivi previsti sono verificati attraverso le seguenti due prove, entrambe obbligatorie:

1. Una prova di valutazione formativa: consistente in un elaborato scritto - della durata di 2 ore - articolata in cinque esercizi sui seguenti argomenti:

Teoria degli insiemi: relazioni; funzioni tra insiemi; combinatorica;

Successioni numeriche reali;

Studio completo di una funzione reale di una variabile reale;

Sulle proprietà di continuità e derivabilità di funzioni reali di una variabile reale; 

Integrali di una funzione reale di variabile reale; calcolo di aree di domini piani. 

2. Un colloquio orale: consistente nella discussione dell'elaborato scritto e in tre domande aperte sugli argomenti teorici trattati nel corso.

Per entrambe le prove, i criteri di valutazione sono i seguenti:
- pertinenza e efficacia delle risposte in rapporto ai contenuti del programma;
- il livello di articolazione della risposta;
- adeguatezza del linguaggio disciplinare utilizzato.

La valutazione complessiva viene espressa con voto in trentesimi tenendo conto di entrambe le prove. 

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Durante il Corso saranno proposti settimanalmente degli esercizi da svolgere sugli argomenti teorici trattati a lezione. Tali esercizi saranno funzionali al superamento del previsto elaborato scritto. Gli studenti sono fortemente consigliati a svolgerli.

Si consiglia di consultare il testo seguente che si pone l'obiettivo di mostrare come la matematica e gli strumenti di calcolo associati possano essere usati per esplorare e spiegare una grande quantità di fenomeni biologici:

Bodine Erin N. Suzanne Lenhart Gross Louis J. Caristi G. (cur.) Mozzanica M. (cur.) Tommei G. (cur.), Matematica per le scienze della vita, UTET Università, 2017.

Alcuni semplici modelli tratti dal testo citato verranno proposti come esercizio durante il corso. 

Si suggerisce inoltre il seguente testo che contiene oltre 500 esercizi svolti utili alla comprensione dei principali argomenti teorici trattati durante il corso:

Cristina Marcelli, Analisi matematica 1. Esercizi con richiami di teoria. Ediz. MyLab. Con aggiornamento online, Pearson, 2019.

Le lezioni teoriche sono tratte dal corso (Dispense) di Analisi Matematica - Parte I del Prof. M. Degiovanni dell'Università Cattolica del Sacro Cuore.