Questo insegnamento ha lo scopo di illustrare i principi di base, le tecniche e l’applicazione dei metodi numerici più comuni per l'algebra lineare e l'analisi funzionale.
Particolare attenzione verrà posta sugli aspetti implementativi con laboratori svolti utilizzando Matlab.

1. Fondamentali di Algebra Lineare e Analisi delle Matrici
 1.1. Spazi vettoriali
 1.2. Matrici e operazioni di base
   1.2.1. Matrici ortogonali
   1.2.2. Matrici a blocchi
 1.3. Rango, nullità, ed inversa
 1.4. Autovalori ed autovettori
 1.5. Norme e prodotti scalari in spazi vettoriali
 1.6. Norme matriciali
2. Fondamenti della matematica numerica
 2.1. Buona posizione e condizionamento
 2.2. Stabilità di metodi numerici
 2.3. Analisi dell’errore a priori e a posteriori
 2.4. Sorgenti di errore nei modelli computazionali
3. Algebra lineare numerica
 3.1. Metodi diretti
  3.1.1. Eliminazione gaussiana
  3.1.2. Fattorizzazione di LU e Cholesky
 3.2. Problemi ai minimi quadrati
  3.2.1. Problemi di regressione
  3.2.2. Equazioni normali
 3.2.3. Fattorizzazione di QR
 3.3. Decomposizione ai valori singolari
  3.3.1. La pseudoinversa, problemi ai minimi quadrati sottodeterminati
  3.3.2. Teorema fondamentale dell’algebra lineare
 3.4. Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari
  3.4.1. Metodi stazionari: Richardson, Jacobi, Gauss-Seidel
  3.4.2. Convergenza di metodi stazionari
  3.4.3. Precondizionamento
  3.4.4. Metodo del gradiente e gradiente coniugato
 3.5. Approssimazione di autovalori ed autovettori
  3.5.1. Metodo delle potenze
  3.5.2. Metodi basati su iterazioni QR
4. Radici di equazioni non lineari / risoluzione di sistemi non lineari
 4.1. Equazioni non lineari monodimensionali
  4.1.1. Metodi geometrici: bisezione, corde, secante
  4.1.2. Iterazioni a punto fisso
  4.1.3. Metodo di Newton
 4.2. Sistemi di equazioni non lineari
  4.2.1. Iterazioni a punto fisso
  4.2.2. Metodo di Newton
  4.2.3. Problemi ai minimi quadrati non lineari, metodo di Gauss-Newton
5. Interpolazione di funzioni
 5.1. Interpolazione polinomiale
  5.1.1. Interpolazione polinomiale su base di Lagrange
  5.1.2. Stabilità dell’interpolazione polinomiale, fenomeno di Runge
 5.2. Interpolazione a tratti e spline
 5.3. Metodi basati su funzioni base ortogonali
6. Integrazione numerica
 6.1. Metodi interpolatori: punto medio, trapezio, Cavalieri-Simpson
 6.2. Metodi di Newton-Coates
 6.3. Analisi dell’errore e grado di esattezza
 6.4. Metodi basati su funzioni base ortogonali
7. Risoluzione di equazioni differenziali ordinarie
 7.1. Formule di differenze in avanti, indietro e centrate
 7.2. Il problema Cauchy
  7.2.1. Metodo di Euler implicito ed esplicito
  7.2.2. Stabilità
  7.2.3. Metodi di Heun e Crank-Nicolson
 7.3. Analisi dei Metodi ad un passo
 7.4. Metodi multipasso: Adams e BDF
8. Metodi data-driven
 8.1. Teoria di Koopman applicata e dynamic mode decomposizion
 8.2. Riduzione all’ordine e proper orthogonal decomposition
 8.3. Filtro di Kalman ed assimilazione dei dati

Conoscenza e capacità di comprensione.  Acquisire le tecniche di programmazione di metodi numerici per l'algebra lineare e analisi funzionale. Dopo il corso lo studente avrà acquisito una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nel corso. 
Conoscenza e capacità di comprensione applicate. Acquisire l'abilità di implementare metodi numerici per l'algebra lineare e l'analisi funzionale. Sviluppare l’abilità di programmare, testare e interpretare i risultati. Acquisire l'abilità di risolvere problemi matematici utilizzando Matlab.
Autonomia di giudizio. Acquisire l'abilità di determinare il miglior metodo numerico per risolvere problemi di algebra lineare e differenziali, in base alle considerazioni ed esigenze di un problema particolare, bilanciando fattori compresi ma non limitati ad accuratezza, risorse computazionali disponibili, precisione dei dati e tempo di elaborazione. Acquisire l’abilità di riconoscere potenziali sorgenti di errore in modelli computazionali e soluzioni potenziali.
Abilità comunicative. Acquisire l'abilità di illustrare in modo rigoroso i problemi matematici studiati nel corso ed esporre i relativi metodi numerici evidenziando le principali proprietà di ciascuno.
Capacità di apprendimento. Abilità di studiare problemi e risolvere problemi simili ma non necessariamente uguali a quelli trattati durante le lezioni.

Il materiale didattico predisposto dalla/dal docente in aggiunta ai testi consigliati (come ad esempio diapositive, dispense, esercizi, bibliografia) e le comunicazioni della/del docente specifiche per l'insegnamento sono reperibili all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Modalità didattiche

Lezioni frontali, esercitazioni con Matlab nel laboratorio di Informatica

Obblighi

nessuno

Testi di studio

Quarteroni et al. (2014). Matematica Numerica. In UNITEXT. Springer Milan. https://doi.org/10.1007/978-88-470-5644-2

Modalità di
accertamento

1. Progetto facoltativo: Gli studenti avranno la possibilità di svolgere un progetto, da soli o in gruppi di massimo tre persone. Il progetto consisterà nella risoluzione di un problema proveniente da un’applicazione.
Dovranno essere consegnati sia il codice utilizzato per risolvere il problema sia un report (necessariamente dattiloscritto) che presenti i risultati in modo chiaro, con tutti i dettagli computazionali.
Il problema sarà risolvibile utilizzando esclusivamente i metodi presentati nel corso; tuttavia, essi potranno essere applicati in contesti o con adattamenti specifici al problema, non necessariamente trattati esplicitamente durante le lezioni.
Il progetto dovrà essere consegnato almeno 10 giorni prima dell’appello d’esame. I progetti realizzati in gruppo dovranno inoltre includere un’autocertificazione attestante i contributi specifici di ciascun membro del gruppo. Verrà superato con un voto di almeno 18/30.
2. Prova orale: Consiste di due domande sugli argomenti del programma. Verrà superato con un voto di almeno 18/30.
Per coloro che non svolgono il progetto, la prova orale peserà per il 100% del voto finale. Per coloro che svolgono il progetto, il progetto peserà per il 50% del voto finale e la prova orale per l’altro 50%. Sebbene il progetto sia facoltativo, una volta superato costituirà il 50% del voto finale e non potrà in alcun caso essere ignorato o avere un peso ridotto, indipendentemente dalla prova orale.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Modalità didattiche

Come per frequentanti.

Obblighi

Come per frequentanti.

Testi di studio

Come per frequentanti.

Modalità di
accertamento

Come per frequentanti.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.