Il corso si propone di definire e applicare alcuni metodi e strumenti matematici, in particolare sistemi dinamici e teoria dei giochi, per modellizzare e simulare l'evoluzione temporale di sistemi economici e sociali. Si tratta spesso di sistemi adattivi, caratterizzati da decisioni ripetute di agenti limitatamente razionali, eterogenei e interagenti. Saranno approfonditi ed estesi alcuni concetti già introdotti nel corso di Matematica Generale, per poterli applicare in ambiti più avanzati. Il formalismo proposto permetterà di comprendere la filosofia di costruzione e messa a punto di modelli matematici e di analizzare in modo critico i risultati ottenuti mediante il loro utilizzo, sia attraverso alcuni esempi che si trovano nella letteratura, sia attraverso esempi ed esercizi svolti a lezione.

The course aims to define and apply some mathematical methods and tools, in particular the theory of dynamical systems and the theory of games, to model the time evolution of social and economic systems. The systems considered are often adaptive systems, influenced by the presence of boundedly rationa, heterogeneous and interacting agents. Some lessons will be devoted to a deeper analysis of some mathematical concepts already introduced in the framework of the course in General Mathematics in order to use them in more advanced applications. The formal methods studied in this course will give a general understanding of the setup of a mathematical model in economics and how the results obtained should be critically analyzed. This is obtained both through the analysis of some models given in the literature and by examples and exercises proposed in classrooom notes.

Parte 1. Elementi di algebra e sistemi dinamici lineari.
Numeri complessi. Autovalori e autovettori. Sistemi lineari di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a coefficienti costanti. Concetto di equilibrio e di stabilità. Soluzioni e classificazioni degli equilibri. Sistemi di equazioni alle differenze del primo ordine a coefficienti costanti. Traiettorie e equilibri. Diagrammi di fase per sistemi lineari del piano.

Parte 2. Sistemi dinamici non lineari.
Concetto generale di sistema dinamico (sia a tempo continuo che discreto). Introduzione alla teoria qualitativa dei sistemi dinamici non lineari. Sistemi dinamici unidimensionali a tempo continuo e discreto, condizioni per la stabilità locale degli equilibri, biforcazioni locali. Funzioni iterate come sistemi dinamici a tempo discreto, soluzioni periodiche, caos deterministico. Equilibri coesistenti e bacini di attrazione. Sistemi dinamici bidimensionali a tempo continuo e a tempo discreto. Condizioni per la stabilità locale degli equilibri, biforcazioni locali. Cicli limite. 

Parte 3. Introduzione alla teoria dei giochi.
Cenni di teoria delle decisioni con un singolo decisore: preferenze, funzioni di utilità, decisioin in condizioni di rischio.
Decisori interagenti e formalismo della teoria dei giochi; rappresentazione strategica e estensiva di un gioco, matrici di payoff,  strategie dominate, equilibrio di Nash in strategie pure e miste, funzioni di best reply. Problemi di esistenza, unicità, molteplicità, efficienza degli equilibri di Nash. Giochi a somma zero e loro proprietà. Giochi in forma estesa e induzione a ritroso. Giochi fra popolazioni, giochi evolutivi, dinamica del repilcatore. Dinamiche evolutive e modelli di dinamica di popolazioni. Versioni dinamiche di giochi, problemi di stabilità e selezione degli equilibri di Nash.

Parte 4. Esempi e applicazioni.
Modello della ragnatela, modelli dinamici per il ciclo economico, modelli per lo sfruttamento delle risorse naturali, semplici modelli con aspettative e apprendimento, modelli deterministici dei mercati con agenti eterogenei, dilemma del prigioniero, giochi di coordinamento, giochi dinamici di oligopolio, dinamica di popolazioni e modelli di Lotka-Volterra. dinamiche evolutive di tipo "replicator dynamics" in giochi evolitivi "falchi-colombe". esempi di schemi adattivi in giochi a informazione incompleta e razionalità limitata.

Si prevede che vengano acquisita la capacità di modellizzare situazioni e problemi nel formalismo dei sistemi dinamici e della teoria dei giochi, che venga acquisita una sufficiente padronanza del formalismo e degli strumenti logico-matematici che permettono di descrivere in modo schematico situazioni complesse. Le conoscenze acquisite dovrebbero rendano più flessibile e generale e autonomo l'approccio ai problemi che si incontrano nella gestione di sistemi che evolvono nel tempo, e a interfacciarsi meglio con specialisti che operano in settori di modellistica e di informatica allo scopo di affrontare lo studio di sistemi economici e sociali attraverso un approccio interdisciplinare.

At the end of the course the students should be able to built and analyze mathematical models expressed by the formalism of dynamical systems and/or the theory of games, and a sufficient capability of using mathematical and logical tools to describe in a schematic way the behaviour of complex situations. These mathematical tools should enhance the approach towards the description and the management of time evolving complex economic systems, and favour the ability to interface with experts in mathematics and computer science in order to study the behaviour of economic systems by an interdisciplinary approach.

Sono previste esercitazioni svolte dal dott. Davide Radi, sia teoriche che con l'uso di software.

Modalità didattiche

Lezione frontale, simulazioni al computer.

Testi di studio

- G.I. Bischi, R. Carini, L. Gardini, P. Tenti "Sulle orme del caos", Bruno Mondadori (2004)
Alcuni capitoli dai seguenti testi:
- R. Shone, Economic Dynamics: Phase Diagrams and their Economic Application, Cambridge University Press, 2003
- F. Patrone "Decisori (razionali) interagenti", Edizioni Plus (2006)

Verranno inoltre distribuite dispense, articoli e indicazioni bibliografiche durante il corso. Il materiale sarà scaricabile dalla pagina web del corso:
http://www.econ.uniurb.it/Big.asp?pagdocente.asp?5

Modalità di
accertamento

Esame orale.
Gli studenti stranieri possono sostenere l'esame in lingua inglese se lo desiderano.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Modalità di
accertamento

Per gli studenti non frequentanti valgono le stesse modalità di accertamento. 
Comunque gli studenti non frequentanti possono contattare il docente per consigli sui libri di testo.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

The student can request to sit the final exam in English with an alternative bibliography.