Lo scopo del corso è quello di fornire tutti i concetti basilari dell’algebra e dell’algebra lineare.

01.    Insiemi: 
  01.01    Insiemi e loro rappresentazione. 
  01.02    Sottoinsiemi di un insieme.
  01.03    Cardinalità di un insieme.
  01.04    Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare, differenza, differenza simmetrica e prodotto cartesiano. Proprietà delle operazioni tra insiemi. Leggi di De Morgan*.
  01.05    Relazioni binarie. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza e loro proprietà*. Insieme quoziente. Partizione di un insieme. Congruenza modulo n: algoritmo della divisione e insieme degli interi modulo n.

01.06  Relazioni d’ordine: insiemi parzialmente ordinati, totalmente ordinati e ben ordinati. Massimo e minimo di un insieme parzialmente ordinato.

02.    Strutture algebriche: 
  02.01    Operazioni binarie e loro proprietà. Elemento neutro e elemento inverso rispetto ad un’operazione binaria. Strutture algebriche: generalità.
  02.02    Semigruppi: definizione e generalità. Sottosemigruppi. 
  02.03    Monoidi: definizione e generalità. Elemento neutro e sua unicità*. Sottomonoidi.
  02.04    Gruppi: definizione e generalità. Elemento inverso e sue proprietà*. Gruppi abeliani. Sottogruppi. Regola di cancellazione*.  Condizione necessaria e sufficiente affinché un sottoinsieme sia un sottogruppo di un gruppo*.
  02.05    Anelli: definizione e generalità.  Proprietà degli anelli*.  Sottoanelli. Anelli commutativi e anelli con identità. Divisori dello zero. Domini di integrità. Condizione necessaria e sufficiente affinché un anello commutativo sia un dominio di integrità*.
  02.06    Campi: definizione e generalità. 
  02.07    Anello dei polinomi. Algoritmo della divisione.
  02.08    Anello delle classi resto modulo p.

03.    Spazi vettoriali: 
  03.01    Vettori e operazioni su di essi: somma, differenza, prodotto per uno scalare, prodotto scalare e prodotto vettoriale. 
  03.02    Spazi vettoriali: definizione e proprietà*. 
  03.03    Sottospazi vettoriali. Condizione necessaria e sufficiente affinché un sottoinsieme sia un sottospazio vettoriale*. 
  03.04    Combinazione lineare di vettori. Sottospazi generati da un sistema di vettori. 
  03.05    Sistema di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. 
  03.06    Base e dimensione di uno spazio vettoriale. Unicità della rappresentazione di un vettore come combinazione lineare di elementi di una base*. 
  03.07    Operazioni tra sottospazi vettoriali: somma e intersezione. Teorema di Grassmann.
  03.08    Somma diretta tra sottospazi vettoriali. Condizione necessaria e sufficiente affinché uno spazio vettoriale sia somma diretta di suoi sottospazi vettoriali*.

04.    Numeri complessi: 
  04.01    Forma algebrica e operazioni con i numeri complessi. 
  04.02    Piano complesso. 
  04.03    Coniugato e modulo di un numero complesso. 
  04.04    Forma trigonometrica e Formula di De Moivre. 
  04.05    Radici n-esime di un numero complesso. 
  04.06    Forma esponenziale complessa e formule di Eulero.
  04.07    Soluzioni complesse di equazioni algebriche.
  04.08     Il Teorema fondamentale dell’algebra.

05.    Matrici: 
  05.01    Generalità e operazioni tra matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto e loro proprietà.  Spazio vettoriale delle matrici (m,n).
  05.02    Matrici quadrate e matrici diagonali. 
  05.03    Matrici invertibili. Unicità della matrice inversa*. Inversa del prodotto*.
  05.04    Trasposta di una matrice e sue proprietà*. Trasposta della matrice inversa*.
  05.05    Matrici simmetriche e antisimmetriche.
  05.06    Matrice di un sistema di vettori rispetto ad una base fissata.
  05.07    Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. 
  05.08    Metodo di Sarrus e Teorema di Laplace per il calcolo del determinante.
  05.09    Costruzione della matrice inversa di una matrice invertibile. 
  05.10    Teorema di Binet e sue conseguenze*.
  05.11    Matrici ortogonali e loro proprietà*.
  05.12    Rango di una matrice. Teorema di Kronecker.
  05.13    Trasformazioni elementari di una matrice e forma canonica diagonale.
  05.14    Autovalori e autovettori di una matrice. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica.

06.    Sistemi lineari: 
  06.01    Generalità e tecniche di risoluzione. 
  06.02    Matrice associata ad un sistema lineare.
  06.03    Sistemi lineari omogenei e non omogenei. 
  06.04    Teorema di Cramer. 
  06.05    Teorema di Rouché-Capelli. 
  06.06    Sistemi lineari dipendenti da uno o più parametri.

07.    Applicazioni lineari: 
  07.01    Definizione di applicazione lineare. Condizione necessaria e sufficiente affinché un’applicazione sia lineare*. Immagine del vettore nullo mediante un’applicazione lineare*. Operazioni tra applicazioni lineari: somma, prodotto per uno scalare e composizione. 
  07.02    Applicazioni lineari invertibili. 
  07.03    Nucleo e immagine di un’applicazione lineare e loro proprietà*. 
  07.04    Teorema della dimensione*.  
  07.05    Matrice associata ad un’applicazione lineare.  
  07.06    Primo e secondo teorema di equivalenza per le applicazioni lineari. 
  07.07    Spazi vettoriali isomorfi. Spazi vettoriali della stessa dimensione finita sono isomorfi*.  
  07.08    Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Condizione necessaria e sufficiente  affinché uno scalare sia un autovalore di un endomorfismo*. Autospazio relativo ad un autovalore e sua dimensione. 
  07.09    Matrici ed endomorfismi diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzazione.  Condizione sufficiente affinché un endomorfismo sia diagonalizzabile*.

* : tutti gli argomenti con l’asterisco sono da intendersi con relativa dimostrazione.
 

Non vi sono propedeuticità obbligatorie. Si consiglia di sostenere l’esame di Matematica Discreta durante il primo anno di corso. 

Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding):

Al termine del corso lo studente avrà acquisito le conoscenza fondamentali di algebra e algebra lineare.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione (applying knowledge and understanding):

Al termine del corso lo studente avrà acquisito le metodologie proprie dell’algebra e dell’algebra lineare e sarà in grado di applicarle allo studio di problemi di vario genere.

Autonomia di giudizio (making judgements):

Al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare i metodi dell’algebra e dell’algebra lineare al fine di risolvere nuovi problemi, anche di natura applicativa.

Abilità comunicative (communications skills):

Al termine del corso lo studente avrà acquisito la capacità di esprimere i concetti fondamentali dell’algebra e dell’algebra lineare con un certo rigore.

Capacità di apprendimento (learning skills):

Durante il corso lo studente acquisirà la capacità di studiare e apprendere le nozioni di algebra e algebra lineare, anche al fine di utilizzarle per la risoluzione di problemi di natura applicativa.

Il materiale didattico predisposto dalla/dal docente in aggiunta ai testi consigliati (come ad esempio diapositive, dispense, esercizi, bibliografia) e le comunicazioni della/del docente specifiche per l'insegnamento sono reperibili all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sebbene fortemente consigliata, la frequenza del corso non è obbligatoria.

Testi di studio

Abate – De Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, McGraw Hill

Abate – De Fabritiis, Esercizi di geometria, Mc Graw Hill

Lang, Linear algebra, Springer-Verlag

Lang, Introduction to linear algebra, Springer-Verlag

Lang, Algebra, Springer-Verlag

Modalità di
accertamento

L’esame di Matematica Discreta consiste in un esame scritto e uno orale, entrambi obbligatori.

La prova scritta, della durata di due ore, consiste in esercizi a risposta aperta sugli argomenti del programma del corso. La prova scritta si considera superata se il voto riportato è maggiore o uguale a 15/30. Durante lo svolgimento delle prove scritte non è consentita la consultazione di libri di testo, né di appunti di alcun tipo, né di libri di esercizi. Non è consentito l’utilizzo di calcolatrici scientifiche, né di telefoni cellulari, pena l’esclusione.

La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma del corso. Può sostenere la prova orale solo chi abbia superato la prova scritta con un voto minimo di 15/30. Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l’esame orale solo nell’appello nel quale è stato superato l’esame scritto o negli appelli della medesima sessione.

Il voto finale dell’esame di Matematica Discreta è dato dalla media tra il voto della prova scritta e quello della prova orale.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

L'insegnamento offre servizi di didattica integrativa on-line all'interno della piattaforma Moodle > elearning.uniurb.it