Il corso si propone di introdurre gradualmente gli studenti al formalismo, la terminologia e gli strumenti logici della matematica, prerequisiti indispensabili per una corretta assimilazione di molte delle discipline a contenuto economico, statistico e finanziario che lo studente dovrà affrontare nel seguito. Oltre ad abituare gli studenti all'uso pratico degli strumenti dell'algebra e del calcolo differenziale, il corso si propone di educarli a un approccio rigoroso e logicamente coerente ai problemi, attraverso il metodo logico-deduttivo tipico della matematica. La trattazione formale degli argomenti sarà preceduta da un approccio euristico e intuitivo, e per molti di essi verranno indicate le possibili applicazioni per la descrizione di sistemi e processi di tipo economico, sociale e finanziario. Le lezioni di natura più teorica saranno affiancate da esercitazioni svolte in aula e da indicazioni per guidare gli studenti nello svolgimento autonomo di esercizi.

The course gradually introduces the terminology , the formalism and the logical basis of mathematics, essential prerequisites for a correct understanding of the main topics in economics, finance and statistics that the students is required to study in the following. Besides the skillness in the use of the main mathematical tools of calculus and algebra, the students should learn a rigorous and logically coherent approach to the the solution of problems. The formal treatment of the main topics of the course is introduced through an intuitive and heuristic methods, together with some exemplary applications to the modelisation of economic and social systems. Theoretical treatment of some topics is associated with practical applications to the solutions of problems and the study of mathematical models.

Il corso è articolato in quattro parti e tratta in modo unificato gli argomenti relativi al calcolo differenziale per le funzioni di una e di più variabili, del calcolo integrale e del calcolo matriciale, privilegiandone gli aspetti applicativi, senza però rinunciare alla presentazione degli elementi e strumenti di natura formale.

Parte I. (Elementi Introduttivi)
1. Insiemi numerici.
Gli insiemi N, Z, Q e le loro proprietà algebriche. Il campo dei numeri reali R e sue proprietà: struttura algebrica e d'ordine. Densità di Q in R. Equazioni e disequazioni in R.
2. Funzioni elementari.
Retta, parabola, ellisse e circonferenza. Funzioni polinomiali e razionali fratte. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Funzioni circolari e loro inverse. Funzioni pari e dispari. Monotonicità di funzioni. Rappresentazione di funzioni elementari di una e più variabili reali.
 

Parte II. (Calcolo differenziale e integrale)
3. Successioni e Cenno sulle Serie
Successioni in R. Limiti di successioni. Convergenza, divergenza e regolarità. Operazioni con i limiti. Unicità del limite. Il numero e. Cenno sulle serie numeriche: definizione e carattere. Serie geometrica.
4. Limiti di funzioni
Elementi di topologia di R. Punti di accumulazione. Insiemi aperti e chiusi. Insiemi limitati e compatti. Limiti di funzioni di una variabile reale. Operazioni sui limiti di funzioni convergenti. Limite destro e sinistro. Convergenza e limitatezza locale. Teoremi del confronto. Teorema di permanenza del segno. Limiti all'infinito. Forme indeterminate. Asintoti verticali, orizzontali e obliqui. Funzioni continue. Proprietà locali (segno, limitatezza) e globali (teorema di Weierstrass, esistenza degli zeri, valori intermedi). Funzione inversa.
5. Derivate di funzioni
Derivate di funzioni di una variabile reale: definizione, significato geometrico e interpretazione. Derivata destra e sinistra, derivate di ordine superiore. Regole di derivazione. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Rolle, Lagrange, Cauchy e De l'Hôpital. Differenziabilità e suoi significati. Polinomio e formula di Taylor. Condizioni del primo e secondo ordine, necessarie e/o sufficienti per lo studio di punti critici (massimi, minimi, flessi). Concavità e convessità di funzioni su un intervallo. Convessità e segno della derivata seconda. Studio qualitativo del grafico di una funzione.
6. Funzioni primitive e integrale
Definizione di integrale di funzioni continue e proprietà fondamentali. Funzioni primitive e proprietà. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
 

Parte III (Elementi di Algebra lineare)
7. Algebra lineare.
Struttura dello spazio reale n-dimensionale. Vettori, operazioni e proprietà. Operazioni con le matrici e proprietà. Matrice trasposta. Matrici diagonali e triangolari. Determinante e proprietà. Le regole di Laplace e di Sarrus. Matrice inversa e proprietà. Rango di una matrice e proprietà. Teorema di Cramer. Teorema di Rouchè Capelli. Risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Sistemi omogenei.
 

Parte IV (Elementi di funzioni di più variabili)
8. Funzioni reali di più variabili.
Limiti di funzioni di più variabili reali e continuità. Derivate parziali di funzioni di più variabili. Gradiente e piano tangente. Matrice Hessiana. Punti critici e loro classificazione (massimi e minimi, punti sella).
Parallelamente al corso sono svolte esercitazioni in aula, assistite dal docente, sia ad illustrazione degli argomenti esposti a lezione, sia per svolgere esercitazioni guidate sulle applicazioni.

- Conoscenza e capacità di comprensione: alla fine del corso gli studenti devono aver acquisito la conoscenza e la capacità di comprensione delle principali parti del programma.

- Conoscenza e capacità di comprensione applicate: gli studenti devono essere capaci di applicare i metodi matematici descritti nel programma alla risoluzione di problemi ed esercizi, oltre alla capacità di tradurre nei simboli e nel formalismo della matematica situazioni del mondo reale, specialmente in campo economico, finanziario e sociale, elaborare semplici modelli matematici o formali o grafici per illustrare e studiare relazioni fra variabili.

- Autonomia di giudizio: gli studenti devono avere la capacità di collegare in schemi integrati e unitari le conoscenze acquisite durante il corso e di confrontarsi con problematiche complesse mediante gli strumenti logici e formali messi a disposizione dalla matematica.

- Abilità comunicative: Gli studenti devono acquisire una capacità di comunicazione chiara ed efficace, grazie ad una buona padronanza del lessico relativo ai temi trattati durante il corso.

- Capacità di apprendere: Gli studenti devono aver sviluppato buone capacità di apprendimento, che consentano loro di approfondire in modo autonomo le conoscenze acquisite durante il corso affrontando percorsi successivi di studio personalizzati.

Il materiale didattico predisposto dalla/dal docente in aggiunta ai testi consigliati (come ad esempio diapositive, dispense, esercizi, bibliografia) e le comunicazioni della/del docente specifiche per l'insegnamento sono reperibili all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Sono previste delle ore aggiuntive di esercitazioni e complementi svolte dal prof. Fabio Tramontana.

Il materiale didattico messo a disposizione dal docente è reperibile, assieme ad altre attività di supporto, all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Modalità didattiche

Lezione frontale. Sono previste lezioni di esercitazioni.

Testi di studio

Testi per la preparazione dell'esame:

Lo studente potrà scegliere uno dei testi di seguito elencati.

Il testo 1, relativamente semplice ma completo, introduce gradualmente agli argomenti e offre esempi svolti per la risoluzione di esercizi. È adatto sia per lo studente che frequenta sia per quello che non frequenta regolarmente le lezioni.
Il testo 2. è il più semplice tra quelli indicati ed è consigliato per gli studenti frequentanti, che avranno la possibilità di integrare alcune parti con il materiale illustrato a lezione dal docente.

Il testo 3. è, rispetto ai primi due, il più completo ed è particolarmente suggerito per gli studenti che intendono apprendere la materia raggiungendo una preparazione abbastanza solida orientata anche alla prosecuzione degli studi economici e/o finanziari.

1. Angelo GUERRAGGIO: Matematica. Pearson Editore, 2014. Tutto il testo. È anche associato alla piattaforma MyMath-Lab

2. Gianni RICCI: Matematica Generale. Seconda Edizione. McGraw-Hill, 2008. Capitoli 1-9. Si segnala la disponibilità di materiale didattico disponibile presso il sito della casa editrice, all'indirizzo www.ateneonline.it/ricci2e

3. G. C. Barozzi - C. Corradi, Matematica Generale per le Scienze Economiche, Terza Edizione, Il Mulino, 1999. Tutto il manuale, ad eccezione delle sezioni Appendice 1, sez. 1.2, sez. 1.4, Appendici 3 e 4, Appendici 6 e 7, sez. 3.2, sez. 3.3, sez. 3.6, sez. 5.9, Appendice 9, sez. 6.5, sez. 6.6, sez. 7.4, sez. 7.5, sez. 7.6, Appendice 10.

Modalità di
accertamento

L'esame è suddiviso in una prova scritta ed un colloquio orale.
La prova scritta consiste nello svolgimento di alcuni esercizi sugli argomenti principali del corso. Ad esempio: studio anche grafico delle proprietà di una funzione, ricerca anche grafica degli zeri di semplici funzioni (polinomi di terzo grado, esponenziali, logaritmiche), ricerca dei massimi e minimi locali e/o globali di funzioni, studio della concavità (convessità di funzioni di una o più variabili, applicazione della formula di Taylor, serie, integrali, classificazione dei punti critici per una funzione di più variabili, soluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari, algebra delle matrici.

La parte orale dell'esame potrà essere sostenuta dallo studente che avrà riportato, nella prova scritta, una valutazione di almeno 15/30.

La parte orale dell'esame accerterà il livello della preparazione complessiva su tutti gli argomenti del programma. Per una valutazione sufficiente, lo studente dovrà mostrare di conoscere concetti (attraverso le loro definizioni) teoremi e collegamenti fra i vari argomenti, e anche una cerca comprensione del ragionamento matematico e delle dimostrazioni.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Modalità didattiche

Si consiglia di contattare il docente per definire percorsi di studio autonomi.

Testi di studio

Angelo GUERRAGGIO: Matematica. Pearson Editore, 2014. Tutto il testo.
È anche associato alla piattaforma MyMath-Lab

Modalità di
accertamento

Sono le stesse previste per gli studenti frequentanti.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

L’esame e la bibliografia potranno essere in lingua Inglese su richiesta dello studente. The student can request to sit the final exam in English with an alternative bibliography.