Lo scopo del corso è quello di fornire alcuni concetti di base di Logica, Algebra e Geometria.

01. Logica Proposizionale:

01.01  Linguaggi formali, alfabeto, sintassi, semantica.

01.02  Il linguaggio del Calcolo Proposizionale.

01.03  Connettivi, tavole di verità.

01.04  Interpretazioni, soddisfacibilità.

01.05  Proprietà algebriche di connettivi e quantificatori. Equivalenza semantica.

01.06  Completezza funzionale.

01.07  Forme normali: forma normale congiuntiva e forma normale disgiuntiva. Costruzione di una formula in forma normale congiuntiva oppure disgiuntiva a partire dalla tavola di verità.

01.08  Insiemi di connettivi funzionalmente completi.

02. Logica dei predicati:

02.01  Il linguaggio del Calcolo dei Predicati. Quantificatori.

02.02  Termini, formule atomiche e formule ben formate.

02.03  Variabili libere e variabili legate.

02.04  Formule chiuse. La sostituzione.

02.05  La semantica del Calcolo dei Predicati.

02.06  Interpretazioni. Soddisfacibilità, validità e modelli.

02.07  Chiusura universale e chiusura esistenziale di una formula.

02.08  Equivalenza semantica.

02.09  Forma normale prenessa.

02.10   Forma di Skolem.

03. Insiemi:

03.01  Insiemi e loro rappresentazione.

03.02  Sottoinsiemi di un insieme.

03.03  Cardinalità di un insieme.

03.04  Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, complementare, differenza, differenza simmetrica e prodotto cartesiano. Proprietà delle operazioni tra insiemi. Leggi di De Morgan.

03.05  Relazioni binarie. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza e loro proprietà*. Insieme quoziente. Partizione di un insieme. Congruenza modulo n: algoritmo della divisione e insieme degli interi modulo n.

03.06  Relazioni d’ordine: insiemi parzialmente ordinati, totalmente ordinati e ben ordinati. Massimo e minimo di un insieme parzialmente ordinato.

04. Strutture algebriche:

04.01  Operazioni binarie e loro proprietà. Elemento neutro e elemento inverso rispetto ad un’operazione binaria. Strutture algebriche: generalità.

04.02  Semigruppi: definizione e generalità. Sottosemigruppi.

04.03  Monoidi: definizione e generalità. Elemento neutro e sua unicità. Sottomonoidi.

04.04  Gruppi: definizione e generalità. Elemento inverso e sue proprietà. Gruppi abeliani. Sottogruppi. Regola di cancellazione.  Condizione necessaria e sufficiente affinché un sottoinsieme sia un sottogruppo di un gruppo.

04.05  Anelli: definizione e generalità.  Proprietà degli anelli.  Sottoanelli. Anelli commutativi e anelli con identità. Divisori dello zero. Domini di integrità. Condizione necessaria e sufficiente affinché un anello commutativo sia un dominio di integrità.

04.06  Campi: definizione e generalità. Completezza del campo reale.

04.07  Anello dei polinomi. Algoritmo della divisione.

04.08  Anello delle classi resto modulo p.

04.09  Anelli booleani, reticoli booleani e algebre di Boole.

05. Spazi vettoriali:

05.01  Vettori e operazioni su di essi: somma, differenza, prodotto per uno scalare, prodotto scalare e prodotto vettoriale.

05.02  Spazi vettoriali: definizione e proprietà.

05.03  Sottospazi vettoriali. Condizione necessaria e sufficiente affinché un sottoinsieme sia un sottospazio vettoriale.

05.04  Combinazione lineare di vettori. Sottospazi generati da un sistema di vettori.

05.05  Sistema di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.

05.06  Base e dimensione di uno spazio vettoriale. Unicità della rappresentazione di un vettore come combinazione lineare di elementi di una base.

05.07  Operazioni tra sottospazi vettoriali: somma e intersezione. Teorema di Grassmann.

05.08  Somma diretta tra sottospazi vettoriali. Condizione necessaria e sufficiente affinché uno spazio vettoriale sia somma diretta di suoi sottospazi vettoriali.

06. Matrici:

06.01  Generalità e operazioni tra matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto e loro proprietà.  Spazio vettoriale delle matrici (m,n).

06.02  Matrici quadrate e matrici diagonali.

06.03  Matrici invertibili. Unicità della matrice inversa. Inversa del prodotto.

06.04  Trasposta di una matrice e sue proprietà. Trasposta della matrice inversa.

06.05  Matrici simmetriche e antisimmetriche.

06.06  Matrice di un sistema di vettori rispetto ad una base fissata.

06.07  Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà.

06.08  Metodo di Sarrus e Teorema di Laplace per il calcolo del determinante.

06.09  Costruzione della matrice inversa di una matrice invertibile.

06.10  Teorema di Binet e sue conseguenze.

06.11  Matrici ortogonali e loro proprietà.

06.12  Rango di una matrice. Teorema di Kronecker.

06.13  Trasformazioni elementari di una matrice e forma canonica diagonale.

06.14  Autovalori e autovettori di una matrice. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica.

07. Sistemi lineari:

07.01  Generalità e tecniche di risoluzione.

07.02  Matrice associata ad un sistema lineare.

07.03  Sistemi lineari omogenei e non omogenei.

07.04  Teorema di Cramer.

07.05  Teorema di Rouché-Capelli.

07.06  Sistemi lineari dipendenti da uno o più parametri.

08. Applicazioni lineari:

08.01  Definizione di applicazione lineare. Condizione necessaria e sufficiente affinché un’applicazione sia lineare. Immagine del vettore nullo mediante un’applicazione lineare. Operazioni tra applicazioni lineari: somma, prodotto per uno scalare e composizione.

08.02  Applicazioni lineari invertibili.

08.03  Nucleo e immagine di un’applicazione lineare e loro proprietà.

08.04  Teorema della dimensione. 

08.05  Matrice associata ad un’applicazione lineare. 

08.06  Primo e secondo teorema di equivalenza per le applicazioni lineari.

08.07  Spazi vettoriali isomorfi. Spazi vettoriali della stessa dimensione finita sono isomorfi. 

08.08  Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Condizione necessaria e sufficiente  affinché uno scalare sia un autovalore di un endomorfismo. Autospazio relativo ad un autovalore e sua dimensione.

08.09  Matrici ed endomorfismi diagonalizzabili. Criteri di diagonalizzazione.  Condizione sufficiente affinché un endomorfismo sia diagonalizzabile.

09. Strutture geometriche:

09.01 Spazi Euclidei. 

09.02 Spazi Unitari.

09.03 Spazi Affini.

09.04 Spazi Proiettivi.

09.05 Curve algebriche piane: coniche.

09.06 Algebra multilineare. 

Non vi sono propedeuticità obbligatorie. Si consiglia di sostenere l’esame di Logica, Algebra e Geometria durante il primo anno di corso.

Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding):

Al termine del corso lo studente avrà acquisito le conoscenza fondamentali di Logica, Algebra e Geometria.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione (applying knowledge and understanding):

Al termine del corso lo studente avrà acquisito le metodologie proprie dell’analisi matematica e sarà in grado di applicarle allo studio di problemi di vario genere.

Autonomia di giudizio (making judgements):

Al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare i metodi della Logica Matematica, Alebra e Geometria al fine di risolvere nuovi problemi, anche di natura applicativa.

Abilità comunicative (communications skills):

Al termine del corso lo studente avrà acquisito la capacità di esprimere i concetti fondamentali dell’analisi matematica con un certo rigore.

Capacità di apprendimento (learning skills):

Durante il corso lo studente acquisirà la capacità di studiare e apprendere le nozioni di Logica, Algebra e Geometria anche al fine di utilizzarle per la risoluzione di problemi di natura applicativa.

Il materiale didattico predisposto dalla/dal docente in aggiunta ai testi consigliati (come ad esempio diapositive, dispense, esercizi, bibliografia) e le comunicazioni della/del docente specifiche per l'insegnamento sono reperibili all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sebbene fortemente consigliata, la frequenza del corso non è obbligatoria.

Testi di studio

M. Curzio, P. Longobardi, and M. Maj, Lezioni di Algebra. Napoli: Liguori Editore, 2014.

E. Mendelson, Introduction to mathematical logic. Sixth edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015. xxiv+489 pp.

T. Jech, Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xiv+769 pp.

Modalità di
accertamento

L’esame di Logica, Algebra e Geometria consiste in un esame scritto e uno orale, entrambi obbligatori.

La prova scritta, della durata di due ore, consiste in esercizi a risposta aperta sugli argomenti del programma del corso. La prova scritta si considera superata se il voto riportato è maggiore o uguale a 15/30. Durante lo svolgimento delle prove scritte non è consentita la consultazione di libri di testo, né di appunti di alcun tipo, né di libri di esercizi. Non è consentito l’utilizzo di calcolatrici scientifiche, né di telefoni cellulari, pena l’esclusione.

La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma del corso. Può sostenere la prova orale solo chi abbia superato la prova scritta con un voto minimo di 15/30. Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l’esame orale solo nell’appello nel quale è stato superato l’esame scritto o negli appelli della medesima sessione.

Il voto finale dell’esame di Logica, Algebra e Geometria è dato dalla media tra il voto della prova scritta e quello della prova orale.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sebbene fortemente consigliata, la frequenza del corso non è obbligatoria.

Testi di studio

M. Curzio, P. Longobardi, and M. Maj, Lezioni di Algebra. Napoli: Liguori Editore, 2014.

E. Mendelson, Introduction to mathematical logic. Sixth edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015. xxiv+489 pp.

T. Jech, Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xiv+769 pp.

Modalità di
accertamento

L’esame di Logica, Algebra e Geometria consiste in un esame scritto e uno orale, entrambi obbligatori.

La prova scritta, della durata di due ore, consiste in esercizi a risposta aperta sugli argomenti del programma del corso. La prova scritta si considera superata se il voto riportato è maggiore o uguale a 15/30. Durante lo svolgimento delle prove scritte non è consentita la consultazione di libri di testo, né di appunti di alcun tipo, né di libri di esercizi. Non è consentito l’utilizzo di calcolatrici scientifiche, né di telefoni cellulari, pena l’esclusione.

La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma del corso. Può sostenere la prova orale solo chi abbia superato la prova scritta con un voto minimo di 15/30. Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l’esame orale solo nell’appello nel quale è stato superato l’esame scritto o negli appelli della medesima sessione.

Il voto finale dell’esame di Logica, Algebra e Geometria è dato dalla media tra il voto della prova scritta e quello della prova orale.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.