Lo scopo del corso è quello di fornire i concetti basilari dell'Analisi Funzionale e sue applicazioni tramite metodi numerici. 

1. I fondamenti della matematica numerica
1.1 Buona posizione e numero di condizionamento di un problema
1.2 Stabilità di metodi numerici
1.3 Analisi a priori e a posteriori
1.4 Sorgenti di errore nei modelli computazionali
1.5 Rappresentazioni p-adiche

2. Elementi di analisi delle matrici
2.1 Spazi vettoriali
2.2 Matrici ed applicazioni lineari
2.3 Operazioni su matrici
2.4 Traccia e determinante
2.5 Rango e nucleo di una matrice
2.6 Matrici di forma particolare
2.7 Autovalori e autovettori
2.8 Trasformazioni per similitudine
2.9 La decomposizione in valori singolari (SVD)
2.10 Prodotto scalare e norme in spazi vettoriali
2.11 Norme matriciali
2.12 Matrici definite positive, matrici a dominanza diagonale e M-matrici

3 Risoluzione di sistemi lineari
3.1 Metodi diretti
3.1.1 Metodo di eliminazione di Gauss
3.1.2 Metodo di fattorizzazione di Gauss
3.1.3 Metodo di fattorizzazione di Cholewski
3.1.4 Accuratezza dei risultati
3.2 Metodi iterativi
3.2.1 Metodo di Jacobi
3.2.2 Metodo di Gauss-Seidel
3.2.3 Convergenza dei metodi iterativi
3.2.4 Metodi di rilassamento
3.2.5 Test d’arresto
3.3 Sistemi indeterminati
3.4 Regressione
3.4.1 Approssimazione di funzioni con i minimi quadrati
3.5 Metodi iterativi avanzati
3.5.1 Metodi di discesa
3.5.2 Metodo del gradiente
3.5.3 Metodo del gradiente coniugato

4 Radici di equazioni non lineari
4.1 Metodo di bisezione
4.2 Metodi sul termine lineare e/o sulla sua derivata
4.2.1 Metodo delle corde
4.2.2 Metodo delle secanti
4.2.3 Metodo di Newton o delle tangenti
4.2.4 Test d’arresto
4.3 Radici di un sistema di equazioni non lineari

5. Sistemi algebrici non lineari
5.1 Formulazione variazionale
5.2 Principio di massimo debole
5.3 Principio di massimo forte
5.4 Il problema di Dirichlet discreto
5.5 Equazioni alle differenze
5.6 Esempi ed applicazioni

6 Interpolazione di funzioni e Integrazione numerica
6.1 Interpolazione polinomiale
6.1.1 Interpolazione polinomiale a tratti
6.2 Approssimazioni con funzioni splines
6.3 Interpolazione di Hermite
6.4 Formule di quadratura interpolatorie
6.4.1 Calcolo dell’errore
6.4.2 Interpolazione lineare composita
6.4.3 Punti di Gauss
6.5 Formule di quadratura in due dimensioni

7 Equazioni differenziali ordinarie: il problema di Cauchy
7.1 Consistenza
7.2 Stabilità
7.2.1 Stabilità minima e zero-stabilità
7.3 Convergenza
7.4 A-stabilità
7.4.1 Eulero Esplicito
7.4.2 Eulero Implicito
7.4.3 Crank-Nicholson
7.4.4 Regioni di A-stabilità
7.5 Costi computazionali dei metodi impliciti

8. Appendice: Spazi normati, spazi metrici, topologia
8.1 Spazi vettoriali normati
8.2 Spazi euclidei: prodotto interno
8.3 Spazi metrici
8.4 Spazi topologici
8.5 Limiti
8.6 Prodotto degli spazi topologici
8.7 Funzioni lineari tra spazi vettoriali
8.8 Norme. Norme equivalenti
8.9 Continuità delle funzioni multilineari
8.10 Sequenze e sottosequenze
8.11 Spazi metrici: completezza
8.12 Spazi normati e completezza: esempi canonici
8.13 Norme equivalenti in spazi vettoriali finiti
8.14 Nozione sequenziale di compattezza
8.15 Sottospazi di spazi compatti
8.16 Funzioni continue su spazi compatti
8.17 Prodotto di spazi compatti
8.18 Applicazioni
8.19 Spazi connessi
8.20 Il teorema di Banach-Caccioppoli
 

Non vi sono propedeuticità obbligatorie. Il corso presuppone la conoscenza dei principali argomenti di Analisi Matematica e Algebra Lineare.

Conoscenza e capacità di comprensione.  Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona padronanza sugli argomenti di matematica trattati nel corso. Dovrà essere in grado di argomentare correttamente e con proprietà di linguaggio sugli argomenti trattati nel programma. Esempi e modalità di lavoro vengono mostrati in aula durante le lezioni e proposti nelle esercitazioni.

Conoscenza e capacità di comprensione applicate. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di usare i principali strumenti dell'Analisi Funzionale e dei Metodi Numerici. Dovrà essere in grado applicare correttamente la formulazione studiata e dovrà essere capace di risolvere problemi di matematica generale simili a quelli studiati. In particolare dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite anche in contesti leggermente diversi da quelli studiati, ed avere la capacità di utilizzare le conoscenze acquisite per risolvere autonomamente problemi che possono apparire nuovi. Esempi di tali applicazioni vengono mostrati in aula durante le lezioni e proposti nelle esercitazioni.

Autonomia di giudizio. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di analisi di argomenti e problemi di Analisi Funzioale e Metrodi Numerici, la capacità di una valutazione critica di eventuali soluzioni proposte, e di una corretta interpretazione di argomenti simili.

Abilità comunicative. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di comunicare in modo chiaro le proprie affermazioni e considerazioni inerenti problematiche di Analisi Funzionale e Metodi Numerici. La modalità di lavoro viene mostrata in aula durante le lezioni e proposta nelle esercitazioni.

Capacità di apprendere. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di autonomia nello studio della disciplina, nella lettura ed interpretazione di un fenomeno qualitativo, nella ricerca di informazioni utili per approfondire la conoscenza degli argomenti trattati.

Il materiale didattico predisposto dalla/dal docente in aggiunta ai testi consigliati (come ad esempio diapositive, dispense, esercizi, bibliografia) e le comunicazioni della/del docente specifiche per l'insegnamento sono reperibili all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sebbene fortemente consigliata, la frequenza del corso non è obbligatoria.

Testi di studio

A. Quarteroni, F. Saleri, R. Sacco, Matematica Numerica, Springer Verlag, Ed. 3, 2008.

R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Introduzione alla Matematica Computazionale, Zanichelli, 1987.

G. De Marco, Analisi Due. Teoria ed Esercizi. Zanichelli, Bologna, 1999.

W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, New York-Auckland-Düsseldorf, 1976.

S. Salsa, Partial Differential Equations in Action, From Modelling to Theory  - Springer, 2007. 

Modalità di
accertamento

Gli obiettivi previsti sono verificati attraverso le seguenti due prove, entrambe obbligatorie:

1. Una prova di valutazione formativa: consistente in un elaborato scritto - della durata di 2 ore e 30 minuti - articolata come segue:

Tema 

Due esercizi

sugli argomenti teorici trattati durante il corso.

2. Un colloquio orale: consistente nella discussione dell'elaborato scritto e in tre domande aperte sugli argomenti teorici trattati nel corso.

Per entrambe le prove, i criteri di valutazione sono i seguenti:
- pertinenza e efficacia delle risposte in rapporto ai contenuti del programma;
- il livello di articolazione della risposta;
- adeguatezza del linguaggio disciplinare utilizzato.

La valutazione complessiva viene espressa con voto in trentesimi tenendo conto di entrambe le prove. 

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sebbene fortemente consigliata, la frequenza del corso non è obbligatoria.

Testi di studio

A. Quarteroni, F. Saleri, R. Sacco, Matematica Numerica, Springer Verlag, Ed. 3, 2008.

R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Introduzione alla Matematica Computazionale, Zanichelli, 1987.

G. De Marco, Analisi Due. Teoria ed Esercizi. Zanichelli, Bologna, 1999.

W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, New York-Auckland-Düsseldorf, 1976.

S. Salsa, Partial Differential Equations in Action, From Modelling to Theory  - Springer, 2007. 

Modalità di
accertamento

Gli obiettivi previsti sono verificati attraverso le seguenti due prove, entrambe obbligatorie:

1. Una prova di valutazione formativa: consistente in un elaborato scritto - della durata di 2 ore e 30 minuti - articolata come segue:

Tema 

Due esercizi

sugli argomenti teorici trattati durante il corso.

2. Un colloquio orale: consistente nella discussione dell'elaborato scritto e in tre domande aperte sugli argomenti teorici trattati nel corso.

Per entrambe le prove, i criteri di valutazione sono i seguenti:
- pertinenza e efficacia delle risposte in rapporto ai contenuti del programma;
- il livello di articolazione della risposta;
- adeguatezza del linguaggio disciplinare utilizzato.

La valutazione complessiva viene espressa con voto in trentesimi tenendo conto di entrambe le prove. 

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.