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ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE E METODI NUMERICI
ELEMENTS OF FUNCTIONAL ANALYSIS AND NUMERICAL METHODS

A.A. CFU
2021/2022 9
Docente Email Ricevimento studenti
Giovanni Molica Bisci Lunedì dalle ore 17:30 alle 19:30
Didattica in lingue straniere
Insegnamento con materiali opzionali in lingua straniera Inglese
La didattica è svolta interamente in lingua italiana. I materiali di studio e l'esame possono essere in lingua straniera.

Assegnato al Corso di Studio

Informatica Applicata (LM-18)
Curriculum: PERCORSO COMUNE
Giorno Orario Aula
Giorno Orario Aula

Obiettivi Formativi

Lo scopo del corso è quello di fornire i concetti basilari dell'Analisi Funzionale e sue applicazioni tramite metodi numerici. 

Programma

01. Spazi normati, spazi metrici, topologia
01.01 Spazi vettoriali normati
01.02 Spazi a prodotto scalare
01.03 Spazi metrici
01.04 Spazi topologici
01.05 Limiti
01.06 Prodotto di spazi topologici
01.07 Funzioni lineari tra spazi normati
01.08 Norme topologicamente equivalenti
01.09 Continuità delle applicazioni multilineari
01.10 Successioni e sottosuccessioni
01.11 Spazi metrici completi
01.12 Completezza di vari spazi normati
01.13 Equivalenza delle norme in dimensione finita
01.14 Spazi compatti e sequenzialmente compatti
01.15 Spazi compatti e sottospazi compatti
01.16 Funzioni continue tra compatti
01.17 Prodotto di spazi compatti
01.18 Applicazioni
01.19 Spazi connessi
01.20 Lemma delle contrazioni di Banach-Caccioppoli

02 Funzioni Riemann integrabili
02.01 Funzioni a scalino
02.02 Integrale delle funzioni a scalino a supporto compatto
02.03 Area di un insieme piano
02.04 Funzioni Riemann integrabili
02.05 Proprietà dell'integrale
02.06 Integrale ed area del trapezoide
02.07 Un'osservazione spesso utile
02.08 Integrale esteso ad un intervallo
02.09 Integrabilità locale delle funzioni continue
02.10 Integrale esteso ad un intervallo orientato
02.11 Integrale indefinito
02.12 Primitive, o antiderivate; teorema fondamentale del calcolo
02.13 Integrali indefiniti
02.14 Integrazione delle funzioni razionali; primi cenni
02.15 Integrazione per parti
02.16 Integrazione per sostituzione
02.17 Integrazione definita per parti e per sostituzione
02.18 Il logaritmo come quadratura dell'iperbole
02.19 La serie logaritmica
02.20 Media di una funzione integrabile
02.21 Una generalizzazione del teorema della media

03 Funzioni a valori complessi
03.0l Funzioni complesse di una variabile reale
03.02 Funzioni complesse di variabile complessa
03.03 Funzioni razionali
03.04 Integrazione delle funzioni razionali
03.05 Alcune sostituzioni importanti
03.06 Integrazione delle funzioni complesse di variabile reale
03.07 Funzioni non elementarmente integrabili
03.08 Primitive di ordine superiore al primo
03.09 Serie di Taylor
03.10 La serie binomiale
03.11 Formula di Taylor con il resto nella forma di Lagrange
03.12 Un'osservazione sull'isotonia di un integrale
03.13 Ancora sull'integrazione per parti e per sostituzione
03.14 Esercizi di integrazione
03.15 L'integrale come limite delle somme di Riemann
03.16 Ancora sulle funzioni convesse

04 Integrali generalizzati
04.01 Definizione e primi risultati
04.02 Criteri di convergenza
04.03 Altre considerazioni
04.04 Integrali generalizzati e serie
04.05 Criterio di Abel-Dirichlet
04.06 Esercizi ricapitolativi
04.07 Il teorema della convergenza monotona
04.08 Il logaritmo complesso

05 Integrazione multipla
05.01 Introduzione
05.02 Integrali doppi
05.03 Funzioni a scalino integrabili
05.04 Intervalli n-dimensionali
05.05 Integrali e misure
05.06 Proprietà dell'integrale
05.07 Definizione di integrale multiplo secondo Riemann
05.08 Formula di riduzione
05.09 Insiemi elementarmente misurabili
05.10 Misura elementare e plurintervalli
05.11 Insiemi non misurabili
05.12 Integrale esteso ad un sottoinsieme elementarmente misurabile
05.13 Grafici e misura nulla
05.14 Approssimazioni con aperti e con compatti
05.15 Integrabilità locale delle funzioni continue
05.16 Dimostrazione del teorema di integrabilità locale delle funzioni continue
05.17 Successioni invadenti
05.18 Effetto di un cambiamento di variabile
05.19 Ancora sui cambiamenti di variabile
05.20 Applicazioni
05.21 Funzioni definite su insiemi; misure finitamente additive
05.22 Algebre di parti di un insieme
05.23 Misure positive finitamente additive
05.24 Subadditività
05.25 Additività numerabile e misure
05.26 Subadditività numerabile
05.27 Passaggio al limite sulle successioni monotone
05.28 Numerabile additività delle misure usuali
05.29 Invarianza per traslazione della misura elementare
05.30 Misure di varietà parametriche

06 Misura ed integrazione alla Lebesgue
06.01 Estensione delle misure
06.02 Misure esterne
06.03 Misurabilità
06.04 Algebra degli insiemi Lebesgue misurabili
06.05 Unicità dell'estensione della misura
06.06 Misure ed integrali alla Lebesgue
06.07 Funzioni misurabili
06.08 Funzioni reali misurabili
06.09 Ancora sulle funzioni misurabili
06.10 Insiemi non misurabili
06.11 Spazi con misura; la terminologia "quasi ovunque"
06.12 Integrale delle funzioni misurabili positive
06.13 Additività finita e numerabile
06.14 Alcuni fatti di base
06.15 Spazio delle funzioni sommabili (a valori reali)
06.16 Convergenza monotona
06.17 Spazio delle funzioni sommabili (a valori complessi)
06.18 Alcune importanti osservazioni
06.19 Semicontinuità sequenziale superiore dell'integrale
06.20 Convergenza dominata
06.21 Confronto con l'integrale di Riemann
06.22 Applicazione: integrali dipendenti da parametri
06.23 Cambiamento di variabile
06.24 Teoremi di Fubini e Tonelli
06.25 Misure nel prodotto ed integrali delle sezioni
06.26 Misurabilità dei prodotti
06.27 Integrazione sulle sfere
06.28 Teorema di completezza
06.29 Teoremi di densità
06.30 Appendice: dimensione di Hausdorff

07 Varietà differenziali
07.01 Diffeomorfismi e funzioni regolari definite su sottoinsiemi arbitrari di spazi normati
07.02 Funzioni immersive e funzioni sommersive
07.03 Varietà differenziali in spazi di dimensione finita
07.04 Esempi di varietà
07.05 Massimi e minimi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange
07.06 Orientabilità e orientazione

08 Forme differenziali di grado uno
08.01 Integrali dipendenti da parametri
08.02 Forme differenziali di grado uno
08.03 Forme chiuse e forme esatte
08.04 Forme chiuse e forme localmente esatte
08.05 Integrazione su cammini e primitive
08.06 Forme esatte
08.07 Lemma di Poincaré
08.08 Omotopia fra circuiti e invarianza per omotopia
08.09 Controimmagine (pull-back) di una forma mediante funzioni regolari

09 Operatori differenziali vettoriali
09.01 Gradiente di uno scalare
09.02 Campi vettoriali
09.03 Forma differenziale o campo di covettori
09.04 Integrale di linea di un campo vettoriale
09.05 Rotore di un campo vettoriale in uno spazio tridimensionale orientato
09.06 Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie
09.07 Flusso in dimensione due
09.08 Divergenza di un campo vettoriale
09.09 Il teorema della divergenza per una palla euclidea
09.10 Frontiera regolare
09.11 Il teorema della divergenza nel caso piano; la formula di Green
09.12 Applicazione: disuguaglianza isoperimetrica nel piano
09.13 Formula di Stokes
09.14 Campi conservativi per il flusso; potenziale vettore
09.15 Laplaciano
09.16 Altre osservazioni
09.17 Esercizi ricapitolativi
09.18 Un'applicazione
09.19 Forme di grado due e tre
09.20 Coomologia

10 Insiemi
10.1 Il paradiso di Cantor
10.2 Relazioni: generalità
10.3 Preordini. Equivalenze. Ordini.
10.4 Funzioni tra insiemi
10.5 Immagine e controimmagine
10.6 Prodotto cartesiano tra insiemi
10.7 Elementi di Teoria GBN
10.8 Assioma della scelta: versioni equivalenti
10.9 Cardinalità (nel senso di Frege): generalità
10.10 Teoremi fondamentali dell'aritmetica cardinale
10.11 Cardinalità ed elementi di Calcolo combinatorico
 

Eventuali Propedeuticità

Non vi sono propedeuticità obbligatorie. Il corso presuppone la conoscenza dei principali argomenti di Analisi Matematica e Algebra Lineare.

Risultati di Apprendimento (Descrittori di Dublino)

Conoscenza e capacità di comprensione.  Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona padronanza sugli argomenti di matematica trattati nel corso. Dovrà essere in grado di argomentare correttamente e con proprietà di linguaggio sugli argomenti trattati nel programma. Esempi e modalità di lavoro vengono mostrati in aula durante le lezioni e proposti nelle esercitazioni.

Conoscenza e capacità di comprensione applicate. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di usare i principali strumenti dell'Analisi Funzionale e dei Metodi Numerici. Dovrà essere in grado applicare correttamente la formulazione studiata e dovrà essere capace di risolvere problemi di matematica generale simili a quelli studiati. In particolare dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite anche in contesti leggermente diversi da quelli studiati, ed avere la capacità di utilizzare le conoscenze acquisite per risolvere autonomamente problemi che possono apparire nuovi. Esempi di tali applicazioni vengono mostrati in aula durante le lezioni e proposti nelle esercitazioni.

Autonomia di giudizio. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di analisi di argomenti e problemi di Analisi Funzioale e Metrodi Numerici, la capacità di una valutazione critica di eventuali soluzioni proposte, e di una corretta interpretazione di argomenti simili.

Abilità comunicative. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di comunicare in modo chiaro le proprie affermazioni e considerazioni inerenti problematiche di Analisi Funzionale e Metodi Numerici. La modalità di lavoro viene mostrata in aula durante le lezioni e proposta nelle esercitazioni.

Capacità di apprendere. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di autonomia nello studio della disciplina, nella lettura ed interpretazione di un fenomeno qualitativo, nella ricerca di informazioni utili per approfondire la conoscenza degli argomenti trattati.

Materiale Didattico

Il materiale didattico predisposto dal docente in aggiunta ai testi consigliati (come ad esempio diapositive, dispense, esercizi, bibliografia) e le comunicazioni del docente specifiche per l'insegnamento sono reperibili all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Modalità Didattiche, Obblighi, Testi di Studio e Modalità di Accertamento

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sebbene fortemente consigliata, la frequenza del corso non è obbligatoria.

Testi di studio

G. De Marco, Analisi Due. Teoria ed Esercizi. Zanichelli, Bologna, 1999.

T. Jech, Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xiv+769 pp.

W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, New York-Auckland-Düsseldorf, 1976.

S. Salsa, Partial Differential Equations in Action, From Modelling to Theory  - Springer, 2007. 

Modalità di
accertamento

Gli obiettivi previsti sono verificati attraverso le seguenti due prove, entrambe obbligatorie:

1. Una prova di valutazione formativa: consistente in un elaborato scritto - della durata di 2 ore e 30 minuti - articolata come segue:

  • Tema 
  • Due esercizi
  • sugli argomenti teorici trattati durante il corso.

    2. Un colloquio orale: consistente nella discussione dell'elaborato scritto e in tre domande aperte sugli argomenti teorici trattati nel corso.

    Per entrambe le prove, i criteri di valutazione sono i seguenti:
    - pertinenza e efficacia delle risposte in rapporto ai contenuti del programma;
    - il livello di articolazione della risposta;
    - adeguatezza del linguaggio disciplinare utilizzato.

    La valutazione complessiva viene espressa con voto in trentesimi tenendo conto di entrambe le prove. 

    Informazioni Aggiuntive per Studenti Non Frequentanti

    Modalità didattiche

    Lezioni teoriche ed esercitazioni.

    Obblighi

    Sebbene fortemente consigliata, la frequenza del corso non è obbligatoria.

    Testi di studio

    H. Brézis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Universitext, Springer, New York, 2011, xiv+599 pp.

    G. De Marco, Analisi Due. Teoria ed Esercizi. Zanichelli, Bologna, 1999.

    T. Jech, Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xiv+769 pp.

    W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. Third edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, New York-Auckland-Düsseldorf, 1976.

    Modalità di
    accertamento

    Gli obiettivi previsti sono verificati attraverso le seguenti due prove, entrambe obbligatorie:

    1. Una prova di valutazione formativa: consistente in un elaborato scritto - della durata di 2 ore e 30 minuti - articolata come segue:

  • Tema 
  • Due esercizi
  • sugli argomenti teorici trattati durante il corso.

    2. Un colloquio orale: consistente nella discussione dell'elaborato scritto e in tre domande aperte sugli argomenti teorici trattati nel corso.

    Per entrambe le prove, i criteri di valutazione sono i seguenti:
    - pertinenza e efficacia delle risposte in rapporto ai contenuti del programma;
    - il livello di articolazione della risposta;
    - adeguatezza del linguaggio disciplinare utilizzato.

    La valutazione complessiva viene espressa con voto in trentesimi tenendo conto di entrambe le prove. 

    « torna indietro Ultimo aggiornamento: 28/09/2021


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