Lo scopo del corso è quello di fornire alcuni concetti di base di Logica, Algebra e Geometria.

​01. Elementi di Teoria degli insiemi
01.01 L'algebra di Boole dei sottoinsiemi di un insieme.
01.02 Relazioni: equivalenza; preordine; ordine; ordine totale. Reticoli.
01.03 Insiemi limitati: generalità.
01.04 Relazioni. Operazioni tra relazioni.
01.05  Funzioni tra insiemi: generalità.
01.06  Immagine e retroimmagine di una funzione.
01.07  Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche.
01.08 Insieme quoziente.
01.09 Paradossi della teoria ingenua degli insiemi.
01.10 Teoria NGB: Assiomi.
01.11 La classe di Russell. Alcuni insiemi importanti.
01.12 L'assioma della scelta e alcune sue formulazioni equivalenti.

02. Strutture algebriche
02.01 Anelli commutativi.
02.02 Gruppi; semigruppi; monoidi; semianelli; campi.
02.03 L'anello quoziente.
02.04 Compatibilità dell'ordine rispetto alle operazioni.
02.05  Campi totalmente ordinati.
02.06  Morfismi tra strutture.
02.07  Caratterizzazione dell'estremo superiore (inferiore)
in campi totalmente ordinati.
02.08 Ordini totali su un campo.

03. Strutture numeriche
03.01 L'insieme dei numeri naturali: gli assiomi di Peano.
03.02 Il teorema di ricorsione debole.
03.03 Il principio di induzione matematica e il principio del buon ordinamento.
03.04 Versioni semantiche del principio di induzione matematica.
03.05 La diseguaglianza di Bernoulli. Il binomio di Newton. Il teorema delle medie.
03.05  Induzione generalizzata e principio di ricorsione.
03.06  Il teorema di ricorsione generalizzata.
03.07  Linguaggio e costruzione Bottom up.
03.08  L'anello degli interi.
03.09  Il campo dei razionali.
03.10  Il campo delle frazioni di un dominio di integrità.
03.11  Caratteristica di un anello.
03.12  Proprietà di Archimede.
03.13  Parte intera e parte frazionaria.

04. Cardinalità
04.01 Cardinalità nel senso di Frege.
04.02 Funzioni iniettive (surgettive) su insiemi finiti.
04.03 Relazione di equivalenza nella classe degli insiemi. Cardinalità di un insieme.
04.04 Problema delle iperclassi. Operazioni tra cardinali.
04.05 La restrizione a sottoinsiemi di un insieme.
04.06 L'ordine totale nell'insieme delle parti modulo equipotenza.
04.07 Il teorema di Cantor-Berenstein.
04.08 Il teorema di Hartgos.
04.09 Il teorema di Cantor.
04.10 L'ipotesi del continuo.
04.11 Caratterizzazione secondo Dedekind degli insiemi infiniti.
04.12 Insiemi finiti (numerabili).
04.13 Cardinalità di insiemi infiniti.
04.10 Cardinalità di insiemi classici.

05. Struttura metrica su campi totalmente ordinati
05.01 Valore assoluto.
05.02 Intervalli.
05.03 Metriche.
05.04 La topologia indotta dall'ordine.
05.05 Punti interni; esterni; di frontiera; di accumulazione; isolati.
05.06 Insiemi aperti (chiusi).  
05.07 Campi archimedei.
05.08 Successioni in campi totalmente ordinati.
05.09 Serie di potenze.
05.10 L'anello delle successioni su un campo totalmente ordinato.
05.11 Successioni di Cauchy.

06. Il campo reale
06.01 Dedekind completezza.
06.02 Caratterizzazione della D-completezza.
06.03 Teorema di unicità dei campi ordinati e D-completi (a meno di isomorfismi crescenti).
06.04 Il campo razionale non è D-completo.
06.05 La retta reale estesa. Topologia della retta reale estesa.
06.06 Il campo complesso.
06.07 Teorema di caratterizzazione della D-completezza.
06.08 Esempi: le serie di Laurent.
06.09 La costruzione di Cantor.
06.10 La costruzione di Dedekind.
06.11 La costruzione di Stevin.

07. Logica Proposizionale
07.01  Linguaggi formali, alfabeto, sintassi, semantica.
07.02  Il linguaggio del Calcolo Proposizionale.
07.03  Connettivi, tavole di verità.
07.04  Interpretazioni, soddisfacibilità.
07.05  Proprietà algebriche di connettivi e quantificatori. Equivalenza semantica.
07.06  Completezza funzionale.
07.07  Forme normali: forma normale congiuntiva e forma normale disgiuntiva.
07.08 Costruzione di una formula in forma normale congiuntiva oppure disgiuntiva a partire dalla tavola di verità.
07.08  Insiemi di connettivi funzionalmente completi.

08. Logica dei predicati
08.01  Il linguaggio del Calcolo dei Predicati. Quantificatori.
08.02  Termini, formule atomiche e formule ben formate.
08.03  Variabili libere e variabili legate.
08.04  Formule chiuse. La sostituzione.
08.05  La semantica del Calcolo dei Predicati.
08.06  Interpretazioni. Soddisfacibilità, validità e modelli.
08.07  Chiusura universale e chiusura esistenziale di una formula.
08.08  Equivalenza semantica.
08.09  Forma normale prenessa.
08.10  Forma di Skolem.

Non vi sono propedeuticità obbligatorie. Si consiglia di sostenere l’esame di Logica, Algebra e Geometria durante il primo anno di corso.

Conoscenza e capacità di comprensione.  Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona padronanza sugli argomenti di matematica trattati nel corso. Dovrà essere in grado di argomentare correttamente e con proprietà di linguaggio sugli argomenti trattati nel programma. Esempi e modalità di lavoro vengono mostrati in aula durante le lezioni e proposti  nelle esercitazioni.

Conoscenza e capacità di comprensione applicate. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di usare i principali strumenti della matematica di base. Dovrà essere in grado applicare correttamente la formulazione studiata e dovrà essere capace di risolvere problemi di matematica generale simili a quelli studiati. In particolare dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite anche in contesti leggermente diversi da quelli studiati, ed avere la capacità di utilizzare le conoscenze acquisite per risolvere autonomamente problemi che possono apparire nuovi. Esempi di tali applicazioni vengono mostrati in aula durante le lezioni e proposti nelle esercitazioni.

Autonomia di giudizio. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di analisi di argomenti e problemi di matematica generale, la capacità di una valutazione critica di eventuali soluzioni proposte, e di una corretta interpretazione di argomenti simili.

Abilità comunicative. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di comunicare in modo chiaro le proprie affermazioni e considerazioni inerenti problematiche di matematica generale. La modalità di lavoro viene mostrata in aula durante le lezioni e proposta nelle esercitazioni.

Capacità di apprendere. Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di autonomia nello studio della disciplina, nella lettura ed interpretazione di un fenomeno qualitativo, nella ricerca di informazioni utili per approfondire la conoscenza degli argomenti trattati.

Il materiale didattico predisposto dalla/dal docente in aggiunta ai testi consigliati (come ad esempio diapositive, dispense, esercizi, bibliografia) e le comunicazioni della/del docente specifiche per l'insegnamento sono reperibili all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Non sono previste attività di supporto.

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sebbene fortemente consigliata, la frequenza del corso non è obbligatoria.

Testi di studio

L. Carlucci Aiello - F. Pirri, Strutture, logica, linguaggi, Ediz. Mylab. Editore: Pearson. Collana: Informatica - Codice EAN: 9788891907844, 2018.

G. Devillanova - G. Molica Bisci, Elements of Set Theory and Recursive Arguments, Atti della Accademia Peloritana dei Pericolanti
Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, ISSN 1825-1242 - Vol. 99, No. S1, (2021).

G. Devillanova - G. Molica Bisci, The Faboulous Destiny of Richard Dedekind, Atti della Accademia Peloritana dei Pericolanti
Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, ISSN 1825-1242 - Vol. 98, No. S1,  (2021).

Per approfondimenti:

M. Curzio, P. Longobardi, and M. Maj, Lezioni di Algebra. Napoli: Liguori Editore, 2014.

E. Mendelson, Introduction to mathematical logic. Sixth edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015. xxiv+489 pp.

T. Jech, Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xiv+769 pp.

Modalità di
accertamento

Gli obiettivi previsti sono verificati attraverso le seguenti due prove, entrambe obbligatorie:

1. Una prova di valutazione formativa: consistente in un elaborato scritto - della durata di 2 ore e 30 minuti - articolata in cinque esercizi sui seguenti argomenti:

Teoria degli insiemi;

Relazioni e funzioni;

Principio di Induzione e ricorrenza;

Strutture algebriche; 

Logica proposizionale/predicativa. 

2. Un colloquio orale: consistente nella discussione dell'elaborato scritto e in tre domande aperte sugli argomenti teorici trattati nel corso.

Per entrambe le prove, i criteri di valutazione sono i seguenti:
- pertinenza e efficacia delle risposte in rapporto ai contenuti del programma;
- il livello di articolazione della risposta;
- adeguatezza del linguaggio disciplinare utilizzato.

La valutazione complessiva viene espressa con voto in trentesimi tenendo conto di entrambe le prove. 

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sebbene fortemente consigliata, la frequenza del corso non è obbligatoria.

Testi di studio

L. Carlucci Aiello - F. Pirri, Strutture, logica, linguaggi, Ediz. Mylab. Editore: Pearson. Collana: Informatica - Codice EAN: 9788891907844, 2018.

G. Devillanova - G. Molica Bisci, Elements of Set Theory and Recursive Arguments, Atti della Accademia Peloritana dei Pericolanti
Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, ISSN 1825-1242 - Vol. 99, No. S1, (2021).

G. Devillanova - G. Molica Bisci, The Faboulous Destiny of Richard Dedekind, Atti della Accademia Peloritana dei Pericolanti
Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, ISSN 1825-1242 - Vol. 98, No. S1, (2021).

Per approfondimenti:

M. Curzio, P. Longobardi, and M. Maj, Lezioni di Algebra. Napoli: Liguori Editore, 2014.

E. Mendelson, Introduction to mathematical logic. Sixth edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015. xxiv+489 pp.

T. Jech, Set Theory. The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xiv+769 pp.

Modalità di
accertamento

Gli obiettivi previsti sono verificati attraverso le seguenti due prove, entrambe obbligatorie:

1. Una prova di valutazione formativa: consistente in un elaborato scritto - della durata di 2 ore e 30 minuti - articolata in cinque esercizi sui seguenti argomenti:

Teoria degli insiemi;

Relazioni e funzioni;

Principio di Induzione e ricorrenza;

Strutture algebriche; 

Logica proposizionale/predicativa. 

2. Un colloquio orale: consistente nella discussione dell'elaborato scritto e in tre domande aperte sugli argomenti teorici trattati nel corso.

Per entrambe le prove, i criteri di valutazione sono i seguenti:
- pertinenza e efficacia delle risposte in rapporto ai contenuti del programma;
- il livello di articolazione della risposta;
- adeguatezza del linguaggio disciplinare utilizzato.

La valutazione complessiva viene espressa con voto in trentesimi tenendo conto di entrambe le prove. 

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Durante il Corso saranno proposti settimanalmente degli esercizi da svolgere sugli argomenti teorici trattati a lezione. Tali esercizi saranno funzionali al superamento del previsto elaborato scritto. Gli studenti sono fortemente consigliati a svolgerli.