Questo insegnamento ha lo scopo di illustrare i principi di base, le tecniche e la programmazione dei metodi numerici più comuni per l'algebra lineare e l'analisi funzionale. Particolare attenzione verrà posta sugli aspetti implementativi con laboratori svolti utilizzando il linguaggio di programmazione Python.

0 Richiami di Algebra Lineare e Analisi delle Matrici
0.1 Spazi Vettoriali
0.2 Matrici e operazioni su Matrici
0.3 Rango e determinante
0.4 Autovalori ed autovettori
0.5 Prodotto scalare e norme in spazi vettoriali
0.6 Norme matriciali

1 I Fondamenti della matematica numerica
1.1 Buona posizione e numero di condizionamento di un problema
1.2 Stabilità di metodi numerici
1.3 Analisi a priori e a posteriori
1.4 Sorgenti di errore nei modelli computazionali

2 Risoluzione di sistemi lineari
2.1 Metodi Diretti
2.1.1 Il metodo di eliminazione gaussiana
2.1.2 La fattorizzazione LU
2.2.3 Il calcolo dell’inversa
2.3 Metodi iterativi
2.3.1 Metodo di Jacobi
2.3.2 Metodo di Gauss-Seidel
2.3.3 Metodi di Richardson stazionari e non stazionari
2.3.3 Convergenza dei metodi iterativi
2.3.4 Metodi di rilassamento
2.3.5 Metodo del gradiente
2.3.6 Metodo del gradiente coniugato
2.3.7 Test d’arresto per metodi iterativi
2.4 Sistemi indeterminati
2.5 Regressione
2.5.1 Approssimazione di funzioni con i minimi quadrati

3 Radici di equazioni non lineari e di sistemi di equazioni non lineari
3.1 Metodo di bisezione
3.2 Metodi sul termine lineare e/o sulla sua derivata
3.2.1 Metodo delle corde
3.2.2 Metodo delle secanti
3.2.3 Metodo di Newton e le sue varianti
3.2.4 Metodo del punto fisso
3.3 Test d’arresto
3.4 Accelerazione con metodo di Aitken
3.3 Radici di un sistema di equazioni non lineari
3.3.1 Metodo di Newton
3.3.2 Metodi quasi Newton
3.3.3 Metodo di Broyden
3.3.4 Metodo del Punto Fisso

4 Interpolazione di funzioni
4.1 Interpolazione polinomiale
4.1.1 Interpolazione polinomiale su base di Lagrange
4.2 Stabilità dell'interpolazione polinomiale

5 Integrazione Numerica
5.1 Formule di quadratura interpolatorie
5.1.1 Formula del punto medio
5.1.2 Formula dei trapezi
5.1.3 Formula di Cavalieri Simpson
5.2 Formule di Newton-Cotes
5.3 Calcolo dell’errore
5.4 Punti di Gauss

6 Approssimazione di Autovalori ed autovettori
6.1 Richiamo del problema agli autovalori
6.2 Metodo delle potenze
6.2.1 Convergenza del metodo delle potenze
6.2.2 Criteri di stop
6.3 Metodo delle potenze inverso
6.4 Localizzazione geometrica degli autovalori
6.4.1 Teorema dei Cerchi di Gershgorin
6.5 Metodi basati su iterazioni QR

7 Equazioni differenziali ordinarie: il problema di Cauchy
7.1 Richiamo al problema di Cauchy
7.2 Stabilità
7.3 Approssimazione numerica al problema di Cauchy
7.3.1 Eulero Esplicito
7.3.2 Eulero Implicito
7.3.3 Crank-Nicholson
7.3.4 Metodo di Heun
7.4 Analisi dei metodo ad un passo
7.5 Metodi a più passi
7.5.1 Metodi di Adams
7.6 Metodi BDF
7.7 Metodi di Runge-Kutta

Nessuna

Conoscenza e capacità di comprensione.  Acquisire le tecniche di programmazione di metodi numerici per l'algebra lineare e analisi funzionale. Dopo il corso lo studente avrà acquisito una buona conoscenza degli argomenti di matematica trattati nel corso. 

Conoscenza e capacità di comprensione applicate. Acquisire l'abilità di implementare metodi numerici per l'algebra lineare e l'analisi funzionale. Sviluppare l’abilità di programmare, testare e interpretare i risultati correttamente. Acquisire l'abilità di risolvere problemi matematici utilizzando librerie per il calcolo scientifico

Autonomia di giudizio. Acquisire l'abilità di determinare il miglior metodo numerico per risolvere problemi di algebra lineare e differenziali.

Abilità comunicative. Acquisire l'abilità di illustrare in modo rigoroso i problemi matematici studiati nel corso ed esporre i relativi metodi numerici evidenziando le principali proprietà di ciascuno. 

Capacità di apprendimento. abilità di studiare problemi e risolvere problemi simili ma non necessariamente uguali a quelli trattati durante le lezioni

Il materiale didattico predisposto dalla/dal docente in aggiunta ai testi consigliati (come ad esempio diapositive, dispense, esercizi, bibliografia) e le comunicazioni della/del docente specifiche per l'insegnamento sono reperibili all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Modalità didattiche

- Lezioni frontali

- Esercitazioni con Python nel laboratorio di Informatica

Obblighi

Nessuno

Testi di studio

Quarteroni, A., Sacco, R., Saleri, F., & Gervasio, P. (2014). Matematica Numerica. In UNITEXT. Springer Milan. https://doi.org/10.1007/978-88-470-5644-2

Modalità di
accertamento

Progetto e prova orale.

- Il progetto, che deve essere sviluppato da gruppi composti da uno o preferibilmente due studenti su un problema che cambia ad ogni anno accademico, consiste nell'implementazione di un colab notebook in python. Il progetto deve essere consegnato almeno 10 giorni prima dell'appello di esame. Il progetto è superato se il voto è di almeno 18/30; il voto rimane valido, anche se la prova orale viene sostenuta ma non superata.

- La prova orale consiste in due domande sugli argomenti del programma ed è superata se il voto è almeno di 18/30.

Entrambe le prove devono essere superiori a 18/30. Il voto finale è dato dalla media pesata delle valutazioni ottenute per il progetto e per la prova orale (25% progetto, 75% esame orale)

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.