Lo scopo dell’insegnamento è quello di fornire tutti i concetti basilari dell'analisi matematica per funzioni di più variabili e le relative tecniche di calcolo.

01. Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili reali:

01.01  Generalità.

01.02  Dominio, grafico e curve di livello.

01.03  Topologia in Rn: distanza e sue proprietà, intorni, insiemi aperti e chiusi e loro proprietà.

01.04  Limiti.

01.05  Calcolo di limiti: metodo delle restrizioni e delle coordinate polari.

01.06  Continuità.

01.07  Teorema di Weierstrass.

01.08  Derivate parziali e gradiente.

01.09  Significato geometrico delle derivate parziali.

01.10  Derivate direzionali.

01.11  Piano tangente.

01.12  Differenziabilità e approssimazione lineare.

01.13  Teorema del differenziale totale*.

01.14  Formula del gradiente.

01.15  Formule di calcolo per le derivate.

01.16  Teorema di derivazione delle funzioni composte.

01.17  Derivate di ordine superiore.

01.18  Teorema di Schwarz*.

01.19  Formula di Taylor in R2.

02. Curve in Rn:

02.01  Funzioni a valori vettoriali.

02.02  Limiti e continuità.

02.03  Derivate per funzioni a valori vettoriali.

02.04  Teorema di derivazione delle funzioni composte.

02.05  Curve in R2 e in Rn.

02.06  Parametrizzazioni e sostegno.

02.07  Curve chiuse e curve semplici.  

02.08  Curve nel piano e nello spazio.

02.09  Parametrizzazioni di curve nel piano: equazioni parametriche di rette, semirette e segmenti.

02.10  Equazioni parametriche delle coniche.

02.11  Grafici di funzioni.

02.12  Parametrizzazioni di curve nello spazio.

02.13  Curve regolari.

02.14  Versore tangente.

02.15  Curve regolari a tratti.

03. Ottimizzazione:

03.01  Massimi e minimi relativi per funzioni di due o più variabili.

03.02  Punti critici.

03.03  Condizione necessaria del primo ordine (Teorema di Fermat).

03.04  Matrice Hessiana.

03.05  Classificazione dei punti critici in R2 e in Rn.

03.06  Massimi e minimi vincolati.

03.07  Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

04. Calcolo integrale per funzioni reali di due variabili reali:

04.01  Integrali doppi sui rettangoli.

04.02  Formule di riduzione su un rettangolo.

04.03  Significato geometrico dell’integrale doppio.

04.04  Integrali doppi su insiemi limitati e misurabili: domini semplici e regolari.

04.05  Proprietà elementari dell’integrale.

04.06  Formule di riduzione su domini semplici.  

04.07  Cambiamento di variabili in R2.

04.08  Formula del cambiamento di variabili per integrali doppi.

04.09  Integrali doppi impropri.

05. Equazioni  differenziali ordinarie:

05.01  Generalità.

05.02  Equazioni a variabili separabili.

05.03  Equazioni differenziali lineari: generalità e principio di sovrapposizione.

05.04  Equazioni lineari del primo ordine.

05.05  Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti omogenee: integrale generale e determinante wronskiano.

05.06  Equazioni differenziali lineari di ordine n a coefficienti costanti non omogenee: integrale generale e metodo di somiglianza.

05.07  Equazione di Eulero ed equazione di Bernoulli.

05.08  Equazioni differenziali non lineari. 

05.09  Problema di Cauchy.

05.10  Teorema di esistenza e unicità locale.

05.11  Cenni sui problemi ai limiti.

* : tutti gli argomenti con l’asterisco sono da intendersi con relativa dimostrazione.

Non vi sono propedeuticità obbligatorie. Si consiglia di sostenere l’esame di Analisi Matematica 2 durante il secondo anno di corso e dopo Analisi Matematica 1.

Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding):

Lo studente acquisirà le conoscenza fondamentali di analisi matematica per lo studio di funzioni di più variabili.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione (applying knowledge and understanding):

Lo studente acquisirà le metodologie proprie dell’analisi matematica e sarà in grado di applicarle allo studio di problemi di vario genere.

Autonomia di giudizio (making judgements):

Lo studente sarà in grado di applicare i metodi dell’analisi matematica al fine di risolvere nuovi problemi, anche di natura applicativa.

Abilità comunicative (communications skills):

Lo studente acquisirà la capacità di esprimere i concetti fondamentali dell’analisi matematica con un certo rigore.

Capacità di apprendimento (learning skills):

Lo studente acquisirà la capacità di studiare e apprendere le nozioni di analisi matematica, anche al fine di utilizzarle per la risoluzione di problemi di natura applicativa.

Il materiale didattico predisposto dalla/dal docente in aggiunta ai testi consigliati (come ad esempio diapositive, dispense, esercizi, bibliografia) e le comunicazioni della/del docente specifiche per l'insegnamento sono reperibili all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sebbene fortemente consigliata, la frequenza non è obbligatoria.

Testi di studio

Adams, Calcolo Differenziale 2, Casa Editrice Ambrosiana

Adams - Essex, Calculus: a complete course, Pearson Canada

Barutello - Conti - Ferrario - Terracini - Verzini, Analisi matematica, Vol.2, Apogeo

Bramanti - Pagani - Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli

Salsa - Squellati, Esercizi di Analisi matematica 2, Zanichelli

Modalità di
accertamento

L’esame di Analisi Matematica 2 consiste in un esame scritto e uno orale, entrambi obbligatori.

La prova scritta, della durata di due ore, consiste in esercizi a risposta aperta sugli argomenti del programma dell’insegnamento. La prova scritta si considera superata se il voto riportato è maggiore o uguale a 15/30. Durante lo svolgimento delle prove scritte non è consentita la consultazione di libri di testo, né di appunti di alcun tipo, né di libri di esercizi. Non è consentito l’utilizzo di calcolatrici scientifiche, né di telefoni cellulari, pena l’esclusione.

La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma dell’insegnamento. Può sostenere la prova orale solo chi abbia superato la prova scritta con un voto minimo di 15/30. Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l’esame orale solo nell’appello nel quale è stato superato l’esame scritto o negli appelli della medesima sessione.

Il voto finale dell’esame di Analisi Matematica 2 è dato dalla media tra il voto della prova scritta e quello della prova orale.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Obblighi

Sebbene fortemente consigliata, la frequenza non è obbligatoria.

Testi di studio

Adams, Calcolo Differenziale 2, Casa Editrice Ambrosiana

Adams - Essex, Calculus: a complete course, Pearson Canada

Barutello - Conti - Ferrario - Terracini - Verzini, Analisi matematica, Vol.2, Apogeo

Bramanti - Pagani - Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli

Salsa - Squellati, Esercizi di Analisi matematica 2, Zanichelli

Modalità di
accertamento

L’esame di Analisi Matematica 2 consiste in un esame scritto e uno orale, entrambi obbligatori.

La prova scritta, della durata di due ore, consiste in esercizi a risposta aperta sugli argomenti del programma dell’insegnamento. La prova scritta si considera superata se il voto riportato è maggiore o uguale a 15/30. Durante lo svolgimento delle prove scritte non è consentita la consultazione di libri di testo, né di appunti di alcun tipo, né di libri di esercizi. Non è consentito l’utilizzo di calcolatrici scientifiche, né di telefoni cellulari, pena l’esclusione.

La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma dell’insegnamento. Può sostenere la prova orale solo chi abbia superato la prova scritta con un voto minimo di 15/30. Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l’esame orale solo nell’appello nel quale è stato superato l’esame scritto o negli appelli della medesima sessione.

Il voto finale dell’esame di Analisi Matematica 2 è dato dalla media tra il voto della prova scritta e quello della prova orale.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.