Il corso si prefigge l'obiettivo di fornire agli studenti una base teorica e applicativa nei fondamenti della Matematica. In particolare, verranno approfondite le nozioni fondamentali dell'Algebra e dell'Analisi Matematica, con l'intento di dotare gli studenti degli strumenti necessari per affrontare successivi studi di carattere scientifico e tecnico. Il corso prevede l'introduzione e lo studio dei numeri reali, delle nozioni di limite, continuità e derivabilità per funzioni reali di una variabile reale, presentando i metodi per tracciare il grafico di una funzione dopo averne analizzato il comportamento. Verranno inoltre definite e studiate le nozioni di integrale e primitiva di una funzione a variabile reale e saranno introdotte le equazioni differenziali, con focus sulle equazioni a variabili separabili. Al termine del corso, gli studenti saranno in grado di comprendere e utilizzare il linguaggio matematico, applicando i metodi acquisiti alla risoluzione di problemi teorici e pratici.

I sistemi numerici.

Familiarizzazione con il formalismo matematico, elementi essenziali di logica e calcolo combinatorio. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo superiore ed estremo inferiore. Numeri naturali, interi e razionali. Numeri reali. Numeri complessi. Forma algebrica dei numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Operazioni con i numeri complessi e radici nel campo complesso Radice n-esima. Esponenziali e Logaritmi, relative proprietà.

Limiti delle funzioni reali di una variabile reale e continuità. 

Definizione di funzione, funzioni reali di variabile reale. Definizione di intorno. Definizioni di limite per una funzione a variabile reale. Punti di accumulazione e punti isolati. Teorema di unicità del limite*. Teorema della permanenza del segno*. Teorema del confronto*. Operazioni sui limiti. Forme determinate e forme indeterminate. Teorema di Cauchy. Operazioni tra funzioni. Funzione inversa e funzione composta. Limiti delle funzioni monotone. Definizione di infinitesimi e infiniti. Definizione di asintoto (verticale, orizzontale, obliquo). Limiti notevoli ed applicazione. Cenni su successioni e serie numeriche.

Definizione di continuità. Continuità delle funzioni elementari, delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Punti di discontinuità di una funzione. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass, Teorema di Bolzano. Teorema di Darboux sui valori intermedi.

Calcolo differenziale. 

Definizione di derivabilità e di derivata: suo significato geometrico. Punti angolosi e cuspidi. Relazione tra derivabilità e continuità*. Derivate delle funzioni elementari. Algebra delle derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Differenziale di una funzione. Derivate di ordine superiore. Estremi assoluti e relativi di una funzione. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle* e suo significato geometrico, Teorema di Lagrange* e suo significato geometrico. Teorema di Cauchy. Caratterizzazione della monotonia per le funzioni derivabili*. Funzioni con derivata nulla in un intervallo. Derivate di ordine superiore. Teoremi di De L'Hôpital. La formula di Taylor. Teorema delle funzioni convesse. Studio qualitativo del grafico di una funzione.

Integrazione secondo Riemann. 

Integrabilità ed integrale secondo Riemann. Definizioni, proprietà e significato geometrico. Integrabilità delle funzioni continue. Integrabilità delle funzioni monotone. Integrabilità delle funzioni generalmente continue e limitate. Esempio di funzione non integrabile. Proprietà degli integrali. Teorema della media integrale. Primitive. Funzione integrale di una funzione continua. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione di funzioni irrazionali e trascendenti. Integrali impropri (cenni). Equazioni differenziali del I ordine e problema di Cauchy. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni lineari. Equazioni differenziali del II ordine a coefficienti costanti e problema di Cauchy. Modelli matematici applicati alla realtà.

Elementi di algebra lineare

Spazi vettoriali e sottospazi. Vettori linearmente indipendenti. Basi e dimensioni. Matrici e operazioni tra matrici. Matrice inversa. Rango di una matrice. Autovalori e autovettori di una matrice. Sistemi algebrici lineari. Regola di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei e non omogenei.

* Si intendono con dimostrazione.

Non sono previste propedeuticità. 

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona padronanza, capacità di calcolo e di manipolazione degli argomenti dell'Algebra e dell’Analisi Matematica di base trattati nel corso.

Conoscenza e capacità di comprensione applicate (applying knowledge and understanding): Al termine del corso, lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità nell'utilizzo degli strumenti matematici di base. In particolare, dovrà essere in grado di applicare le conoscenze teoriche a problemi pratici, dimostrando una comprensione approfondita dei concetti appresi; risolvere in modo autonomo esercizi e problemi di natura matematica, anche in contesti leggermente differenti da quelli affrontati durante le lezioni; utilizzare le competenze acquisite dimostrando flessibilità e capacità di adattamento. Durante le lezioni e le esercitazioni, saranno proposti esempi pratici volti a consolidare le conoscenze teoriche e a stimolare lo sviluppo delle competenze.

Autonomia di giudizio (making judgements). Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di analisi dei temi e dei problemi matematici di carattere generale. In particolare, dovrà essere in grado di valutare in modo approfondito e autonomo la validità e l'efficacia di diverse soluzioni proposte, interpretando correttamente con argomentazioni i risultati matematici, anche in contesti leggermente differenti da quelli affrontati durante le lezioni. Per favorire l'acquisizione di tali competenze, si stimolerà l'approfondimento autonomo degli argomenti trattati attraverso lo svolgimento di esercizi e attività di studio individuale. Si promuoverà inoltre un costante confronto costruttivo tra studenti e con il docente, al fine di favorire una riflessione critica sul proprio percorso di apprendimento e di consolidare le conoscenze acquisite.

Abilità comunicative (communication skills). Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di comunicare in modo chiaro e rigoroso concetti e ragionamenti matematici. Attraverso la partecipazione attiva alle lezioni e lo studio approfondito dei testi consigliati, lo studente familiarizzerà con il linguaggio matematico e ne apprenderà le peculiarità. Grazie all'interazione costante con il docente, sarà in grado di esprimere con precisione e chiarezza le proprie conoscenze, sia in forma orale che scritta. Il corso mira a fornire allo studente gli strumenti necessari per comunicare in modo efficace ed efficiente in ambito scientifico, valorizzando il ruolo fondamentale del linguaggio matematico.

Capacità di apprendere (learning skills). Al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito una buona capacità di autoapprendimento, dimostrando autonomia nella lettura e interpretazione di formule, testi e dati relativi agli argomenti studiati; sapendo ricercare informazioni pertinenti all’approfondimento dei concetti trattati a lezione. Il corso fornirà allo studente gli strumenti metodologici necessari per perfezionare le proprie strategie di studio. In particolare, attraverso esercitazioni fatte in classe, sarà in grado di affrontare in modo autonomo nuovi argomenti, identificando i prerequisiti indispensabili per la loro comprensione e valutarne i risultati. In questo modo, lo studente sarà in grado di proseguire i propri studi in modo indipendente, sviluppando un approccio critico e costruttivo nei confronti del sapere matematico.

Il materiale didattico predisposto dalla/dal docente in aggiunta ai testi consigliati (come ad esempio diapositive, dispense, esercizi, bibliografia) e le comunicazioni della/del docente specifiche per l'insegnamento sono reperibili all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Modalità didattiche

Lezioni frontali.

Obblighi

Frequenza non obbligatoria, sebbene fortemente consigliata.

Si ricorda che per seguire con profitto il corso costituiscono un prerequisito le conoscenze elementari relative ai seguenti argomenti:

Aritmetica e Algebra: Concetto di insieme e operazioni tra insiemi. Operazioni fra numeri reali e proprietà delle operazioni sui numeri reali, proprietà delle potenze. Confronto fra numeri razionali. Monomi e polinomi, operazioni fra polinomi: somma, prodotto, divisione con resto. Prodotti notevoli, quadrati e cubi di binomi. I radicali. Equazioni di primo grado. Disequazioni di primo grado. Equazioni e disequazioni di primo grado con valore assoluto. Equazioni di grado superiore al primo e insieme delle soluzioni. Disequazioni di grado superiore al primo. Equazioni e disequazioni di grado superiore al primo con valore assoluto. Equazioni e disequazioni irrazionali.

Geometria Piana: Formule elementari della geometria piana e solida.

Geometria Analitica: equazione della retta per due punti; equazione della retta noto coefficiente angolare e un punto di appartenenza alla retta; distanza fra due punti; relazione tra coefficienti angolari di due rette e parallelismo o perpendicolarità tra di esse, equazione della circonferenza; equazione della parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate.

Esponenziali e Logaritmi: Funzioni esponenziali e logaritmiche e loro grafici. Equazioni esponenziali e logaritmiche. Disequazioni esponenziali e logaritmiche.

Goniometria: Circonferenza goniometrica. Misure degli angoli in gradi e in radianti. Funzioni goniometriche elementari e loro grafici. Valori notevoli delle funzioni goniometriche. Angoli (archi) associati. Formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione. Espressioni, equazioni e disequazioni goniometriche in seno, coseno e tangente.

Funzioni: Dominio e codominio di una funzione. Grafici elementari e proprietà delle funzioni elementari (incluso il valore assoluto). Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Funzione inversa. Funzioni pari, funzioni dispari, funzioni né pari né dispari.

Logica elementare: Elementi di logica, quantificazioni, implicazioni.

Testi di studio

Le lezioni teoriche sono tratte dal testo e dal corso (Dispense) di Analisi Matematica I del Prof. Emerito Ermanno Lanconelli dell’Alma Mater Studiorum Università di Bologna.

Il materiale didattico presentato durante le lezioni teoriche e gli esercizi proposti a lezione, sono reperibili e scaricabili dalla piattaforma Moodle blended.uniurb.it

1)  E. Acerbi, G. Buttazzo: Matematica preuniversitaria di base, Pitagora editore, 2003.

2)  G. Malafarina, Matematica per i precorsi, McGraw-Hill Education, 2010.

3)  C. Marcelli, Analisi matematica 1. Esercizi con richiami di teoria. Ediz. MyLab. Con aggiornamento online, Pearson, 2019.

4)  C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica, Vol. 1 Zanichelli, Bologna, 2015.

5)  E. Lanconelli, Lezioni di Analisi Matematica 1, Pitagora Editrice Bologna, 1994.

6)  P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Liguori Editore, 2015.

7)  M. Abate, C. De Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, Mc Graw Hill Education, 2015.

8)  M. Abate, Matematica e Statistica (2° edizione) - Le basi delle scienze della vita, McGraw-Hill, 2013.

Modalità di
accertamento

Gli obiettivi previsti sono verificati attraverso le seguenti due prove, entrambe obbligatorie:

1. Una prova scritta di valutazione formativa: Si accede alla prova scritta muniti di un (qualunque) documento di riconoscimento con foto. E' autorizzato l'uso di formulari. Non è autorizzato l'uso di calcolatrici programmabili. I cellulari verranno depositati sulla cattedra fino al termine della prova. E' richiesta penna, matita, gomma per cancellare e righello. I fogli protocollo con timbro dell'università verranno forniti dal docente. Nessun altro foglio verrà considerato nella correzione della prova che consistente in un elaborato scritto, della durata di 2 ore, articolata in cinque esercizi sui seguenti argomenti:

·  Limite di funzioni;

·  Studio completo di una funzione reale di variabile reale;

·  Integrali di una funzione reale di variabile reale; 

·  Calcolo di aree di domini piani e di volumi di solidi; 

·  Equazioni differenziali. 

E' possibile ritirarsi dalla prova scritta, non prima di 1 ora dalla consegna del testo.

Si è ammessi alla prova orale con un risultato minimo della prova scritta di 15/30.

E' possibile ripetere la prova scritta una seconda volta (o terza, se la sessione prevede tre appelli) nella stessa sessione di esami. 

2. Un colloquio orale: consistente nella discussione dell'elaborato scritto e tre domande aperte che verte su tutti gli argomenti teorici trattati nel corso.

Per entrambe le prove, i criteri di valutazione sono i seguenti:
- pertinenza e efficacia delle risposte in rapporto ai contenuti del programma;
- il livello di articolazione della risposta;
- adeguatezza del linguaggio disciplinare utilizzato.

La prova orale può essere sostenuta in appelli o sessioni diversi da quello in cui si è superata la prova scritta. La prova scritta superata ha validità di un (1) anno accademico.

La valutazione complessiva viene espressa con voto in trentesimi tenendo conto di entrambe le prove. 

Esempi di domande al colloquio orale:

Definizioni di limite per una funzione a variabile reale, Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, Teoremi del confronto per i limiti, Teorema di Cauchy, Teorema di esistenza degli zeri, Teorema di Weierstrass, Relazione tra derivabilità e continuità, Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange, Definizione e proprietà delle funzioni crescenti, Funzioni a derivata nulla, Condizione di integrabilità secondo Riemann, Integrabilità delle funzioni continue, Teorema fondamentale del calcolo integrale. Un elenco più dettagliato viene fornito a lezione dal docente.

Esempi di esercizi della prova scritta:

Lo studente potrà reperire esempi di prove scritte su Moodle blended.uniurb.it.

Per gli studenti con certificazione DSA valgono le disposizioni vigenti, secondo la legge 170/2010. Pertanto, essi potranno usufruire di tutti gli strumenti compensativi indicati nella propria certificazione, sia per la prova scritta che per la prova orale (calcolatrice, formulari, mappe concettuali, pc o tablet con software compensativi, ...). Come da indicazioni di legge, la durata della prova scritta è aumentata di 35 minuti oltre i 120 previsti (il 30% circa).

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Modalità didattiche

Utilizzo regolare della piattaforma Moodle.

Obblighi

Nessuno

Testi di studio

Le lezioni teoriche sono tratte dal testo e dal corso (Dispense) di Analisi Matematica I del Prof. Emerito Ermanno Lanconelli dell’Alma Mater Studiorum Università di Bologna.

Il materiale didattico presentato durante le lezioni teoriche e gli esercizi proposti a lezione, sono reperibili e scaricabili dalla piattaforma Moodle blended.uniurb.it

1)  E. Acerbi, G. Buttazzo: Matematica preuniversitaria di base, Pitagora editore, 2003.

2)  G. Malafarina, Matematica per i precorsi, McGraw-Hill Education, 2010.

3)  C. Marcelli, Analisi matematica 1. Esercizi con richiami di teoria. Ediz. MyLab. Con aggiornamento online, Pearson, 2019.

4)  C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica, Vol. 1 Zanichelli, Bologna, 2015.

5)  E. Lanconelli, Lezioni di Analisi Matematica 1, Pitagora Editrice Bologna, 1994.

6)  P. Marcellini, C. Sbordone, Analisi Matematica 1, Liguori Editore, 2015.

7)  M. Abate, C. De Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, Mc Graw Hill Education, 2015.

8)  M. Abate, Matematica e Statistica (2° edizione) - Le basi delle scienze della vita, McGraw-Hill, 2013.

Modalità di
accertamento

Gli obiettivi previsti sono verificati attraverso le seguenti due prove, entrambe obbligatorie:

1. Una prova scritta di valutazione formativa: Si accede alla prova scritta muniti di un (qualunque) documento di riconoscimento con foto. E' autorizzato l'uso di formulari. Non è autorizzato l'uso di calcolatrici programmabili. I cellulari verranno depositati sulla cattedra fino al termine della prova. E' richiesta penna, matita, gomma per cancellare e righello. I fogli protocollo con timbro dell'università verranno forniti dal docente. Nessun altro foglio verrà considerato nella correzione della prova che consistente in un elaborato scritto, della durata di 2 ore, articolata in cinque esercizi sui seguenti argomenti:

·  Limite di funzioni;

·  Studio completo di una funzione reale di variabile reale;

·  Integrali di una funzione reale di variabile reale; 

·  Calcolo di aree di domini piani e di volumi di solidi; 

·  Equazioni differenziali. 

E' possibile ritirarsi dalla prova scritta, non prima di 1 ora dalla consegna del testo.

Si è ammessi alla prova orale con un risultato minimo della prova scritta di 15/30.

E' possibile ripetere la prova scritta una seconda volta (o terza, se la sessione prevede tre appelli) nella stessa sessione di esami. 

2. Un colloquio orale: consistente nella discussione dell'elaborato scritto e tre domande aperte che verte su tutti gli argomenti teorici trattati nel corso.

Per entrambe le prove, i criteri di valutazione sono i seguenti:
- pertinenza e efficacia delle risposte in rapporto ai contenuti del programma;
- il livello di articolazione della risposta;
- adeguatezza del linguaggio disciplinare utilizzato.

La prova orale può essere sostenuta in appelli o sessioni diversi da quello in cui si è superata la prova scritta. La prova scritta superata ha validità di un (1) anno accademico.

La valutazione complessiva viene espressa con voto in trentesimi tenendo conto di entrambe le prove. 

Esempi di domande al colloquio orale:

Definizioni di limite per una funzione a variabile reale, Teorema di unicità del limite, Teorema della permanenza del segno, Teoremi del confronto per i limiti, Teorema di Cauchy, Teorema di esistenza degli zeri, Teorema di Weierstrass, Relazione tra derivabilità e continuità, Teorema di Fermat, Teorema di Rolle, Teorema di Lagrange, Definizione e proprietà delle funzioni crescenti, Funzioni a derivata nulla, Condizione di integrabilità secondo Riemann, Integrabilità delle funzioni continue, Teorema fondamentale del calcolo integrale. Un elenco più dettagliato viene fornito a lezione dal docente.

Esempi di esercizi della prova scritta:

Lo studente potrà reperire esempi di prove scritte su Moodle blended.uniurb.it.

Per gli studenti con certificazione DSA valgono le disposizioni vigenti, secondo la legge 170/2010. Pertanto, essi potranno usufruire di tutti gli strumenti compensativi indicati nella propria certificazione, sia per la prova scritta che per la prova orale (calcolatrice, formulari, mappe concettuali, pc o tablet con software compensativi, ...). Come da indicazioni di legge, la durata della prova scritta è aumentata di 35 minuti oltre i 120 previsti (il 30% circa).

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.