Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni fondamentali, i principali risultati e le più comuni metodologie di calcolo nell’ambito della matematica di base, della teoria delle funzioni reali di una variabile reale, dell’algebra lineare e la teoria delle matrici, con particolare riguardo agli aspetti analitici e logico-deduttivi dei contenuti trattati.

01. Numeri:

01.01 Insiemi numerici: numeri naturali, numeri interi, numeri razionali e numeri reali.

01.02 Sommatorie, fattoriali, coefficienti binomiali e formula del binomio di Newton.

01.03 Proprietà algebriche e rappresentazione geometrica dei numeri razionali.

01.04 Dai numeri razionali ai numeri reali.

01.05 Valore assoluto e distanza sulla retta.

01.06 Intervalli sulla retta reale. Insiemi limitati e illimitati sulla retta reale. Massimo e minimo di un sottoinsieme della retta reale. Estremo inferiore e estremo superiore di un sottoinsieme della retta reale.

01.07 Il principio di induzione e applicazioni.

02.  Funzioni di una variabile:

02.01 Il concetto di funzione.

02.02 Funzioni reali di una variabile reale: generalità, funzioni limitate, funzioni simmetriche, funzioni monotone, funzioni periodiche.

02.03 Funzioni elementari.

02.04 Operazioni sui grafici.

02.05 Funzioni definite a tratti.

02.06 Funzioni composte.

02.07 Funzioni inverse.

02.08 Le funzioni trigonometriche inverse.

03. Limiti di funzioni:

03.01 Limiti finiti al finito.

03.02 Teorema di unicità del limite*.

03.03 Limiti finiti all’infinito.

03.04 Asintoti orizzontali.

03.05 Limiti infiniti all’infinito.

03.06 Asintoti obliqui. Limiti infiniti al finito.

03.07 Limite destro e sinistro.

03.08 Asintoti verticali.

03.09 Non esistenza del limite.

03.10 Algebra dei limiti e forme indeterminate.

03.11 Teorema di permanenza del segno*.

03.12 Teorema di compressione (o dei carabinieri)*.

03.13 Teorema di cambio di variabile nel limite.

03.14 Definizione di funzioni asintoticamente equivalenti.

03.15 Limiti notevoli. 

03.16 Gerarchia degli infiniti.

04. Successioni:

04.01 Definizione di successione.

04.02 Successioni convergenti, divergenti e irregolari.

04.03 Successioni monotone.

05. Continuità:

05.01 Funzioni continue.

05.02 Algebra delle funzioni continue.

05.03 Continuità delle funzioni elementari.

05.04 Continuità della funzione composta.

05.05 Limiti di polinomi.

05.06 Limiti di funzioni razionali.

05.07 Limiti notevoli.

05.08 Punti di discontinuità eliminabili e a salto.

05.09 Funzioni continue su un intervallo: Teorema degli zeri*, Teorema di Weierstrass e Teorema dei valori intermedi*.

05.10 Continuità della funzione inversa.

06. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile:

06.01 Derivata di una funzione.

06.02 Significato geometrico della derivata.

06.03 Equazione della retta tangente al grafico di una funzione.

06.04 Derivate di funzioni elementari.

06.05 Legame tra continuità e derivabilità di una funzione*.

06.06 Algebra delle derivate*.

06.07 Derivata del prodotto e del quoziente di funzioni*.

06.08 Derivata della funzione composta*.

06.09 Derivata della funzione inversa*.

06.10 Derivata destra e sinistra e punti di non derivabilità.

06.11 Punti stazionari, massimi e minimi locali e globali.

06.12 Teorema di  Fermat*.

06.13 Teorema di Lagrange* e applicazioni: test di monotonia e caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla su un intervallo.

06.14 Ricerca di massimi e minimi di funzioni.

06.15 Teorema di de L’Hospital.

06.16 Derivata seconda.

06.17 Concavità e convessità di una funzione.

06.18 Punti di flesso.

06.19 Studio del grafico di una funzione.

07. Calcolo integrale per funzioni di una variabile:

07.01 Primitive e integrale indefinito di una funzione.

07.02 Primitive di funzioni elementari.

07.03 Area di una regione piana.

07.04 Definizione di integrale definito.

07.05 Classi di funzioni integrabili.

07.06 Proprietà dell’integrale definito.

07.07 Il Teorema della media*.

07.08 Il Teorema fondamentale del Calcolo Integrale*.

07.09 Primi metodi di integrazione: scomposizione e sostituzione.

07.10 Integrazione di funzioni razionali.

07.11 Integrazione per parti*.

07.12 Integrazione di funzioni trigonometriche.

07.13 Integrazione di funzioni irrazionali.

07.14 Integrazione di funzioni non limitate e integrazione su intervalli illimitati.

07.15 Criteri di integrabilità: confronto e confronto asintotico*.

08. Approssimazione di funzioni e Formula di Taylor:

08.01 Differenziale e approssimazione lineare.

08.02 Il simbolo di “o piccolo”.

08.03 Sviluppi asintotici e applicazione al calcolo di limiti.

08.04 Polinomio di Taylor.

08.05 Formula di Taylor con il resto di Peano*.

08.06 Formula di Taylor per funzioni elementari.

08.07 Formula di Taylor con il resto di Lagrange e con il resto integrale.

08.08 Applicazioni: approssimazione di funzioni, stima dell’errore e calcolo di limiti.

08.09 Serie di Taylor e sviluppi in serie di Taylor di funzioni elementari.

09. Algebra lineare:

09.01 Vettori e operazioni su di essi: somma, differenza, prodotto per uno scalare, prodotto scalare e prodotto vettoriale.

09.02 Spazi vettoriali: definizione e proprietà*.

09.03 Sottospazi vettoriali. Condizione necessaria e sufficiente affinché un sottoinsieme sia un sottospazio vettoriale*.

09.04 Combinazione lineare di vettori. Sottospazi generati da un sistema di vettori.

09.05 Sistema di vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.

09.06 Base e dimensione di uno spazio vettoriale. Unicità della rappresentazione di un vettore come combinazione lineare di elementi di una base*.

09.07 Operazioni tra sottospazi vettoriali: somma e intersezione. Teorema di Grassmann.

09.08 Somma diretta tra sottospazi vettoriali. Condizione necessaria e sufficiente affinché uno spazio vettoriale sia somma diretta di suoi sottospazi vettoriali.

09.09 Generalità e operazioni tra matrici: somma, prodotto per uno scalare, prodotto e loro proprietà. Spazio vettoriale delle matrici (m,n).

09.10 Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà.

09.11 Metodo di Sarrus e Teorema di Laplace per il calcolo del determinante.

09.12 Matrici invertibili.

09.13 Teorema di Binet e sue conseguenze.

09.14 Rango di una matrice. Teorema di Kronecker.

09.15 Autovalori e autovettori di una matrice. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica.

09.16 Sistemi lineari: generalità e tecniche di risoluzione.

09.17 Teorema di Cramer.

09.18 Teorema di Rouché-Capelli.

09.19 Sistemi lineari dipendenti da uno o più parametri.

09.20 Applicazioni lineari. Condizione necessaria e sufficiente affinché un'applicazione sia lineare*. Immagine del vettore nullo mediante un'applicazione lineare*.

09.21 Nucleo e immagine di un'applicazione lineare e loro proprietà*.

09.22 Teorema della dimensione.

09.23 Matrice associata ad un'applicazione lineare.

* : tutti gli argomenti con l’asterisco sono da intendersi con relativa dimostrazione

Non vi sono propedeuticità obbligatorie. Si consiglia di sostenere l'esame di Matematica durante il primo anno di corso.

Conoscenza e capacità di comprensione:
Lo studente dovrà acquisire un’approfondita conoscenza della struttura del ragionamento matematico in generale e nell’ambito degli argomenti trattati nelle lezioni. Lo studente dovrà acquisire la padronanza degli strumenti dell’analisi matematica di base e degli altri argomenti trattati nelle lezioni.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione:
Lo studente dovrà apprendere come applicare le conoscenze acquisite: per analizzare e comprendere risultati e metodologie pertinenti agli argomenti trattati nelle lezioni anche quando non identici a quelli già conosciuti ma chiaramente correlati ad essi; per risolvere problemi di moderata difficoltà pertinenti agli argomenti trattati nelle lezioni; per formulare problemi pertinenti agli argomenti trattati nelle lezioni in una chiara e corretta forma matematica al fine di facilitare una loro analisi e risoluzione.

Autonomia di giudizio:
Lo studente dovrà essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche pertinenti agli argomenti trattati nelle lezioni, con una chiara identificazione di assunti e conclusioni, e delle procedure logico-deduttive applicate per passare dai primi ai secondi.

Abilità comunicative:
Lo studente dovrà acquisire il lessico specifico dell’analisi matematica di base e degli altri argomenti trattati nelle lezioni e la capacità di lavorare su tali argomenti sia in autonomia che in gruppo, nonché la capacità di inserirsi facilmente in ambienti di studio che si occupano di tali argomenti. Al termine del corso, lo studente dovrà essere in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti gli argomenti trattati nelle lezioni sia ad un pubblico specializzato che ad un pubblico non specializzato, sia in forma scritta che orale.

Capacità di apprendimento:
Lo studente dovrà essere in grado di: proseguire nello studio degli aspetti più approfonditi degli argomenti trattati nel corso e di altre discipline di tipo matematico o più generalmente scientifico, con un alto grado di autonomia e con mentalità flessibile; di recuperare con facilità informazioni dalla letteratura di settore; di acquisire nuove conoscenze nell'ambito degli argomenti trattati nel corso e di altre discipline di tipo matematico o più generalmente scientifico mediante la consultazione autonoma di testi specialistici, riviste scientifiche o divulgative, anche riguardo ad argomenti al di fuori di quelli trattati strettamente a lezione, al fine di intraprendere percorsi di formazione successivi.

Il materiale didattico predisposto dalla/dal docente in aggiunta ai testi consigliati (come ad esempio diapositive, dispense, esercizi, bibliografia) e le comunicazioni della/del docente specifiche per l'insegnamento sono reperibili all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Il materiale didattico e le comunicazioni specifiche del docente sono reperibili, assieme ad altre attività di supporto, all'interno della piattaforma Moodle › blended.uniurb.it

Modalità didattiche

Lezioni teoriche ed esercitazioni.

Didattica innovativa

La modalità didattica in presenza verrà arricchita con esercitazioni individuali e di gruppo.

Obblighi

Sebbene fortemente consigliata, la frequenza del corso non è obbligatoria.

Testi di studio

Abate - De Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, McGraw Hill
Abate - De Fabritiis, Esercizi di geometria, Mc Graw Hill
Adams, Calcolo Differenziale 1, Casa Editrice Ambrosiana
Adams - Essex, Calculus: a complete course, Pearson Canada
Bramanti - Pagani - Salsa, Analisi matematica 1, Zanichelli
Bramanti - Pagani - Salsa, Analisi matematica 1 con elementi di geometria e algebra lineare, Zanichelli
Salsa - Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, Zanichelli

Modalità di
accertamento

L’esame di Matematica 1 consiste in un esame scritto e uno orale, entrambi obbligatori.

La prova scritta, della durata di due ore, consiste in esercizi a risposta aperta sugli argomenti del programma dell’insegnamento. La prova scritta si considera superata se il voto riportato è maggiore o uguale a 15/30. Durante lo svolgimento delle prove scritte non è consentita la consultazione di libri di testo, né di appunti di alcun tipo, né di libri di esercizi. Non è consentito l’utilizzo di calcolatrici scientifiche, né di telefoni cellulari, pena l’esclusione.

La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti del programma dell’insegnamento. Può sostenere la prova orale solo chi abbia superato la prova scritta con un voto minimo di 15/30. Il superamento della prova scritta dà diritto a sostenere l’esame orale solo nell’appello nel quale è stato superato l’esame scritto o negli appelli della medesima sessione.

Il voto finale dell’esame di Matematica 1 è dato dalla media tra il voto della prova scritta e quello della prova orale.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.

Modalità didattiche

Come per frequentanti.

Obblighi

Come per frequentanti.

Testi di studio

Come per frequentanti.

Modalità di
accertamento

Come per frequentanti.

Disabilità e DSA

Le studentesse e gli studenti che hanno registrato la certificazione di disabilità o la certificazione di DSA presso l'Ufficio Inclusione e diritto allo studio, possono chiedere di utilizzare le mappe concettuali (per parole chiave) durante la prova di esame.

A tal fine, è necessario inviare le mappe, due settimane prima dell’appello di esame, alla o al docente del corso, che ne verificherà la coerenza con le indicazioni delle linee guida di ateneo e potrà chiederne la modifica.